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牛吃草问题         ★★★★
牛吃草问题
作者:佚名 文章来源:网络 点击数: 更新时间:2010/9/5 14:39:00

牛吃草问题

一、牛吃草问题

牛吃草问题是一个很有趣的问题,关键在于牧场每天都长新草,通过两组条件的比较,先求出每天(周)长牧草的新草量,然后把牛分成两部分,一部分吃新草,一部分吃旧草,从而求出吃草的天数。显然牛实际上是不能这样分成两部分去吃草的,但在解数学问题中,这种分成几部分去解决问题的方法,可以使复杂的问题变成简单的问题,化繁为简是常常应用的技巧之一。

例1 牧场上一片青草,每天牧草都匀速生长。如果27头牛6周吃完,23头牛9周吃完,那么21头牛几周吃完?
解:设1头牛1周吃的草为1份,27头牛6周吃27×6=162(份),23头牛9周吃23×9=207(份),这说明牧场每周长新草(207-162)÷(9-6)=15(份)。原来(牛吃前)牧场有草 162-15×6=72(份)
吃新草的牛需要 15÷1=15(头)吃旧草的牛有 21-15=6(头)
吃完草的时间 72÷6=12(周)

例2 由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供20头牛吃5天,或可供15头牛吃6天,那么可供多少头牛吃10天?
解:20头牛5天吃草20×5=100(份)15头牛6天吃草15×6=90(份)
青草每天减少(100-90)÷(6-5)=10(份)牛吃草前牧场有草100+10×5=150(份)150份草吃10天本可供150÷10=15(头)因每天减少10份草,相当于10头牛吃掉,所以只能供牛15-10=5(头)

二、牛吃草问题概念及公式

  牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场 牛吃草问题的·历史起源:英国数学家牛顿(1642—1727)说过:“在学习科学的时候,题目比规则还有用些”因此在他的著作中,每当阐述理论时,总是把许多实例放在一起。在牛顿的《普遍的算术》一书中,有一个关于求牛和头数的题目,人们称之为牛顿的牛吃草问题。,是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同,草又是天天在生长的,所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式,分别是︰

  假设定一头牛一天吃草量为“1”

  1)草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数-吃的较少天数);

  2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;`

  

3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);

  4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。

  这四个公式是解决消长问题的基础。

  由于牛在吃草的过程中,草是不断生长的,所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的,新长的草虽然在变化,但由于是匀速生长,所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量,才能够导出上面的四个基本公式。

  牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草,这块地既有原有的草,又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同,求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。

  解题关键是弄清楚已知条件,进行对比分析,从而求出每日新长草的数量,再求出草地里原有草的数量,进而解答题总所求的问题。

  这类问题的基本数量关系是:

  1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷(吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。

  2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草量。

三、例题

1、旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车站放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2个检票口时,只要10分钟就把所有乘客OK了 求增加人数的速度还有原来的人数

  设一个检票口一分钟一个人

  1个检票口30分钟30个人

  2个检票口10分钟20个人

  (30-20)÷(30-10)=0.5个人

  原有1×30-30×0.5=15人

  或2×10-10×0.5=15人

  2、有三块草地,面积分别是5,15,24亩。草地上的草一样厚,而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天,问第三块地可供多少头牛吃80天?

  这是一道牛吃草问题,是比较复杂的牛吃草问题。

  把每头牛每天吃的草看作1份。

  因为第一块草地5亩面积原有草量+5亩面积30天长的草=10×30=300份

  所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5=60份

  因为第二块草地15亩面积原有草量+15亩面积45天长的草=28×45=1260份

  所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15=84份

  所以45-30=15天,每亩面积长84-60=24份

  所以,每亩面积每天长24÷15=1.6份

  所以,每亩原有草量60-30×1.6=12份

  第三块地面积是24亩,所以每天要长1.6×24=38.4份,原有草就有24×12=288份

  新生长的每天就要用38.4头牛去吃,其余的牛每天去吃原有的草,那么原有的草就要够吃80天,因此288÷80=3.6头牛

  所以,一共需要38.4+3.6=42头牛来吃。

  两种解法:

  解法一:

  设每头牛每天的吃草量为1,则每亩30天的总草量为:10*30/5=60;每亩45天的总草量为:28*45/15=84那么每亩每天的新生长草量为(84-60)/(45-30)=1.6每亩原有草量为60-1.6*30=12,那么24亩原有草量为12*24=288,24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072,24亩80天共有草量3072+288=3360,所有3360/80=42(头)

  解法二:10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩,根据28头牛45天吃15亩,可以推出15亩每天新长草量 (28×45-30×30)/(45-30)=24;15亩原有草量:1260-24×45=180;15亩80天所需牛180/80+24(头)24亩需牛:(180/80+24)*(24/15)=42头



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