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关于数学教学中学生思维训练的探讨         ★★★★
关于数学教学中学生思维训练的探讨
作者:刘永洪 文章来源:网络 点击数: 更新时间:2010/11/12 12:08:15

关于数学教学中学生思维训练的探讨

                       湖北枝江英杰学校  刘永洪

思维是人类的一种重要活动。人们对于它的研究、探讨在不断地发展进步,甚至创造出了可以模仿人的思维活动的电脑。在理论上取得的成果也颇丰,对于思维生理机能的揭示,还有从各个不同的角度对思维进行的分类,(例如,有的把它分为形象思维有和抽象思维;有的把它分为求同思维和求异思维;有的认为思维是聚敛的和发散型的;有的认为思维有正向和逆向之分等),这些对于思维的进一步研究,都有十分重要的价值。

本人多年从事基础教育,在初中数学教学中,对于学生学习数学的思维活动进行了一定的探讨,把学生学习数学的思维活动作了分层次划分。我认为,不妨把他们的思维活动划分成单向单步思维、单向多步思维和多向多步思维。他们在掌握数学知识实现课程目标的过程中,总是由最简单的单向单步思维过渡到单向多步思维,乃至于发展到多向多步思维。我们知道,数学是训练学生思维的广播操。新课标要求我们把训练学生的思维,培养学生的数学思想作为一项重要的工作来抓,因此我们要根据学生思维形成和发展的规律,对他们进行有计划,有目的的训练,由量变到质变,在实现认知目标,情感目标和能力目标的同时,逐步实现思维应达到的目标——形成创造性思维的能力。

一、注重单向单步思维的训练,形成牢固的思维基础

我们在实施数学教学活动中,学生的思维方向基本上是明确的,当他们遇到一个简单的数学问题时,在大脑里立即产生一个单向的思维个体,而解决问题又只需一步完成,我们把这种从一个知识点到另一个知识点,单方向,单步骤的思维称为单向单身思维。简要表示如下:

起点(知识点)  终点(知识点)

例如,应用“同位角相等,两直线平行”、 ,思维就是单向单步思维。

单向单步思维是连续性思维的基础,是思维的最小单元,思维的目的性明确,时间短。前人对这种思维非常重视,他们总是力图把所有数学知识都浓缩在这一个个的单向单步思维单元里,由“因”到“果”,由“题设”到“结论”,总结出了许多公理、定理、公式,便于人们记忆,成为后人思维向前延伸的基石。

思维的源泉是知识和信息。学生的单向单步思维就是对已有的人类思维成果的学习,包括简单的重复,探索性的验证,创造性的发现。作为教师,主要是根据不同的情形,不同的学习内容,抓好这种思维品质的培养。1.使他们的单向单步思维具有完备性。在教学中对照目标,启发讨论逐步的实现目标,做到有问有答,有布置有检查,及时补充他们思维过程中的缺陷,克服半途而废或弄个一知半解的坏毛病。例如学习等腰梯形的性质:等腰梯形ABCDADBD)同一底角上的两个角相等,使学生不仅知道∠B=C,而且要知道A=D2.使他们的单向单步思维具有准确性。在教学中为了达到目标,要一步一个脚印,脚踏实地。只有每个单向单步思维的准确性,才能保证整个连续性思维的准确性,不然的话,思维的结果是错误的没有意义。例如,当a=4时, ,算术平方根不能为负数,错误的原因在哪里呢? ︳,而不是 ,结果功亏一篑。3.使他们的单向单步思维具有活泼性。在教学中创设启迪学生思维的环境,利用他们的好奇心,求知欲,根据学生不同的思维基础,设立不同的思维目标,激发他们的积极思考。包括采用现代化的教学手段,把学生按座位分成学习小组或按能力分成学习小组,调动他们思维的积极性。尽量避免思维简单的重复,力争思维去探索性的验证,鼓励思维去创造性的发现。使他们每一个人对自己的思维成果充满信心。

二、注重单向多步思维的训练,加快学生思维的速度

随着单向单步思维的发展,便产生了单向多步思维。学生在明确的目标导向下,头脑里的思维个体为实现目标几步才能完成,思维活动从一个知识点到解决问题完毕要经过几个知识点,我们把这种单方向的,多步骤的思维称为单向多步思维。

简要表示如下:

起点(知识点)→知识点1→知识点2→…→终点(知识点)

例如:在实数范围内分解因式

1

2

3

4

a

b

如图,已知1=2 求证:∠3=4

证明:∠1=2ab3=4

都属于单向多步思维。

单向多步思维是单向单步思维的有机结合,连续的单向单步思维便形成了单向多步思维。单向单步思维和单向多步思维既有区别又没有明显的界线。随着学生思维能力的提高,思维的步幅将发生变化。以前是单向多步思维的,后来变成了单向单步思维。例如做多项式乘法 ,两步完成,掌握了这个结果之后,便只需 一步了。从中使我们认识到:学生学习数学知识的过程是一个不断扩大思维幅度的过程。

根据单向单步思维与单向多步思维的关系,①我们便能清楚的认识到如何开展启发式教学。当我们提出的问题学生不能作答时,要考虑思维幅度是否过大,启发教学就是逐步缩短思维的步幅,使其距离记忆在脑中的知识点近一些,直到他们能回答时为止。例如,计算(a+b-c2思维过程:

a+b-c2=[a+b-c]2=a+b2-2(a+b)c+c2=a+b2+c2+2ab-2ac-2bc

当学生不能作答时,启发他们,你能把三项和的平方看着两项和的平方吗,例如[a+b-c]2[a+b-c]2,其中的(a+b)或(b-c)当成一个整体后,会运用完全平方公式计算吗,逐步缩短思维的步幅,直到他们能够答出结果,达到了启而得发的目的。

A

B

D

C

②在教学中,我们要抓好学生课堂知识的形成性评价,及时找出学生思维过程中的障碍,帮助他们扫除思维过程中的拦路虎,深刻揭示各知识之间的内在联系,使其在单向多步思维过程中各单向单步思维能紧密衔接,不是出现盲点、空白、断裂带,而是畅通无阻,直达终点。例如,勾股定理,在RtABC中,

,是一些特殊的成比例的线段的关系。

CDAB ,  

于是

 

利用符合特殊条件的切割线的性质也可得到,如图⊙ 是⊙ 的切线 ,即 从而深刻揭示出这些知识的相互关系,使学生能够融合贯通。完成任何一个思维过程

都能起到很强的迁移的作用。

③在教学中抓好思维定势的训练。要求学生,除了记住公理、定理、公理外,还要多记住一些数学常识:几个非负数之和为 ,则每个非负数为 ;三个连续自然数之积能被3整除;对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交点间的距离是︱ =  =   a是二次项系数,△是判别式)等,就能不断提高单向多步思维的速度。

三、注重多向多步思维的训练,提高学生思维的敏捷度

数学知识的发展,出现了多方面的因素影响一个结论的时候,便要同时加以考虑,在大脑里产生了多方向,多步骤的思维称为多向多步思维。

例如:方程 ,有两个正根,求pq的取值范围。思维过程:

  

                            

类似的,多方向的思维,在几何证明中,不胜枚举。这些多方向的思维,有时会相互交替,相互影响,错综复杂,进展缓慢;有时即使牵涉到的知识点再多,但条理清楚,相互促进,进展顺利。根据这种情形,①在教学中,我们要抓紧阶段性评价和综合性评价,帮助学生认清自己的思维的抗干扰能力如何。我们知道,部分学生在形成性评价过程中表现得还较好,但一进入阶段性评价或综合性评价,就错误百出,甚至不能动笔。一是随着时间的增长不断遗忘,二是思维抗干扰的能力太弱。例如,计算:

错①原式=

错②原式=[(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)]=2x 2y

 

,①是形式的干扰,造成错误;②是思维定势的干扰,本不必分解因式,分解因式后没有计算完毕,半途而废。可直接计算:

解:原式=

因此,我们要采用类比,对比等形式的教学,提高他们思维的抗干扰能力。

②在教学中,我们要抓好知识的系统化传授,帮助学生理清思维的脉络,以便多向多步思维顺利发展。解决问题快速准确。例如对一次函数的有关知识进行归类,系统化:一、不同条件下待定系数k,b;二、自变量取值范围的变化在图象上的反映,有的是直线,有的是射线,有的是线段或若干点;三是两个一次函数图像间的位置关系:平行、相交、关于X轴、y轴或原点对称。帮助他们深刻理解,系统的掌握这部分知识。

③在教学中,我们要加强对学生多方向思维引导的同时,提高有效思维,抑制无效思维,从而提高思维的效率。

例如,已知一元二次方程 a0),在什么情况下(1)两根均为正数;(2)两根均为负数;(3)一根正一根负。一般情况,要考虑△,两根之和,两根之积。引导学生通过分析,得到第三种情形不要考虑△,∵ ,∴△=   因此,再遇到类似的问题,便不再考虑△了,从而简化了思维过程。

④在教学中,我们要加强一题多解的训练,扩大学的思路,也就是增大学生的思维方向。例如。计算 : ,按照所学的方法,一步一步的施行乘法运算,再合并同类项,得出结果后,提请他们思考,有没有其它方法?思维过程:原式=

显然,既简单又明了。使学生在完成某一思维过程后,总要考虑还有没有更好的思维途径,克服思维过程中的满足感。使思维具有一定的探索性,从而发展到具有一定的创造力。

总之,学生在学习数学知识的过程中,他们是学习的主体,会根据不同的学习目标,单向单步思维,单向多步思维,多向多步思维交替出现。我们教师是学生学习的主导者,只有了解了他们思维的这些特点,才能在各种教学活动中加强引导,不断实现预定的目标。

 

 

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