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函数最值得求解方法         
函数最值得求解方法
作者:梁小宁 文章来源:本站原创 点击数: 更新时间:2012-4-15 10:48:36

函数最值的求解  

陕西武功  梁小宁  

函数最值的讨论是高中数学的难点,类型多且比较灵活,因而在高考当中较容易失分,所以把握好类型与解决方法是处理好这类问题的关键。  

一 求函数最值的常用方法有:  

    1.配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的最值.形如                                       的函数值域均可用此法,要特别注意自变量的范围.  

   2分离常数法:将函数解析式化成含有一个常数和含有     的表达式,利用自变量取值范围确定表达式取值范围。形如     的函数的值域,均可以使用此法,此外这种函数的值域也可以利用反函数法,利用反函数的定义域进行值域的求解。  

   3.判别式法:把函数转化成关于的二次方程     ,通过方程有实根,判别式     ,从而求得原函数的值域。形如     的函数的值域常用此法解决。

注意事项:①函数定义域为R;②分子、分母没有公因式。  

4.不等式法:利用基本不等式取等号确定函数的最值,常用不等式有:  

     当且仅当a = b时,“=”号成立;

     当且仅当a = b时,“=”号成立;

     当且仅当a = b = c,=”号成立;

      ,当且仅当a = b = c,=”号成立.  

 注意事项:①基本不等式求最值时一定要注意应用的条件是“一正二定三等”.  

熟悉一个重要的不等式链:               

   5.换元法:运用代数或者三角代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域。形如     函数等常用此法解决.  

注意事项:换元法使用时一定要注意新变元的取值范围.  

      

6.数形结合法:当一个函数图象较容易作出时,通过图像可以求出其值域和最值;或利用函数所表示的几何意义,借助几何方法求出函数的值域。例如距离、斜率等.  

7.函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性以求出函数的值域.例如形如     的函数,     的函数等.   

注意事项:1 函数单调性问题必须先在讨论定义域条件下进行。  

2函数的单调性的判断方法有定义法,导数判断法等方法。  

函数最值求解例析

1 求下列函数的值域:

    

解:(1)方法一(分离常数法)由          

所以函数值域为     

方法二(反函数法)由     ,得     ,所以          

所以函数值域为     

2)方法一(换元法)设     ,得     

    

    

方法二(函数单调性法)     

    

    

注:函数     的单调性也可以用导数法进行判断(     .

(3)方法一(判别式法)

    

    

    

所以函数值域为     

方法二(不等式法)

    

    

    

4)方法一(基本不等式法)

          

    

          ,所以函数的值域为     

方法二(判别式法)

          

    方程有实根,     

    

解得          ,所以函数的值域为     

方法三(函数单调性法)由          

所以当          时,     所以函数在          上是减少的,

          时,     所以函数在          上是增加的,

所以     

所以函数的值域为     

                                                                          注:函数     图象及性质  

(1)函数     图象:

(2)函数     性质:

值域:     

②单调递增区间:          

单调递减区间:          .

2     ,记     ,函数         的最小值是( 

A                    C         D      

解法一(图像法):

函数     的图像如图所示,由图像可得,其最小值为     [来源:Z,xx,k.Com]

解法二(零点分区间讨论法)

      x<﹣1时,|x+1|=x1|x2|=2x 2x>﹣x1

当﹣1≤x     时,|x+1|=x+1|x2|=2x x+12x

     x2时,|x+1|=x+1|x2|=2xx+1>2x

x≥2时,|x+1|=x+1|x2|=x2 x+1x2

     ,故函数最小值为     

3 设函数     ,求     在区间     上的最大值     和最小值     

解:(函数单调性法)

由于     ,所以     

     得:      ;由     得:     

所以函数     在区间     上是减少的;在区间     上是增加的。又由于     

所以:          

训练

1 下列函数中,值域是(0+∞)的是(  )

       A              B     

       Cy=x2+x+1        D     

2 函数     的值域是(  )

       A、(﹣,﹣1         B、(﹣00+∞

       C、(﹣1+∞           D、(﹣,﹣10+∞

3 函数     的值域是          

4 函数     的值域为         

5 函数     的最大值是      ,最小值是        

   

   

   

作者单位:陕西省武功县五七零二完全中学

邮箱:lxn207813@163.com

邮编:712201

   

   

参考文献:卢勇刚《中学数学教与学》(2005年第5期)用均值不等式求最值的类型及方法  

   


论文录入:梁小宁    责任编辑:梁小宁 
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