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2018年高考数学理科总复习压轴小题突破练5:向量有关.doc
上传者:佚名 点击数: 更新时间:2018/2/28 22:15:30
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5.与向量有关的压轴小题
1.(2017届山西临汾一中等五校联考)如图,在△ABC中,AD⊥AB,BC→=3BD→,|AD→|=1,则AC→•AD→的值为(  )
 
A.1  B.2  C.3  D.4
答案 C
解析 方法一 AD→•AC→=|AD→|•|AC→|cos∠CAD,
∵|AD→|=1,
∴AD→•AC→=|AC→|cos∠CAD,
∵∠BAC=π2+∠DAC,
∴cos∠CAD=sin∠BAC,AD→•AC→=|AC→|sin∠BAC,
在△ABC中,由正弦定理得ACsin B=BCsin∠BAC,变形得ACsin∠BAC=BCsin B,
∴AD→•AC→=|AC→|sin∠BAC=BC•ADBD=3,故选C.
方法二 AD→•AC→=AD→•(BC→-BA→)=AD→•BC→-AD→•BA→=AD→•3BD→=3AD→•(BA→+AD→)=3AD→•BA→+3AD→•AD→=3.
2.(2017届河南省豫北名校联盟精英对抗赛)已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为点O,且3OA→+4OB→+5OC→=0,则OC→•AB→的值为(  )
A.85  B.75  C.-15  D.45
答案 C
解析 ∵3OA→+4OB→+5OC→=0,
∴4OB→+5OC→=-3OA→,
∴16OB→2+40OB→•OC→+25OC→2=9OA→2,
又∵|OA→|=|OB→|=|OC→|=1,
∴OB→•OC→=-45,同理可求OA→•OC→=-35,
∴OC→•AB→=OC→•(OB→-OA→)=-45--35=-15.
故选C.
3.(2017•浙江温州中学月考)在△ABC中,已知AB→•AC→=9,sin B=cos A•sin C,S△ABC=6,P为线段AB上的点,且CP→=x•CA→CA→+y•CB→CB→,则xy的最大值为(  )
A.1  B.2  C.3  D.4
答案 C
解析 由题设sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=sin Ccos A,
即sin Acos C=0,也即cos C=0,
∴C=90°,
又∵bccos A=9,故b2=9,即b=3.
∵12ab=6,故a=4,c=5,
故建立如图所示直角坐标系xOy,则A(3,0),B(0,4),则由题设可知P(x,y),
 
直线AB的方程为x3+y4=1且x>0,y>0,
∴x3+y4=1≥2xy12,即xy≤3,当且仅当x=32,y=2时“=”成立,故选C.
4.(2017•运城期中)已知点O是△ABC内部一点,且满足2OA→+3OB→+4OC→=0,则△AOB,△BOC,△AOC的面积之比依次为(  )
A.4∶2∶3  B.2∶3∶4  C.4∶3∶2  D.3∶4∶5
答案 A
解析 如图所示,延长OA,OB,OC,使OD=2OA,OE=3OB,OF=4OC,
 
∵2OA→+3OB→+4OC→=0,
∴OD→+OE→+OF→=0,
即O是△DEF的重心,故△DOE,△EOF,△DOF的面积相等,
不妨令它们的面积均为1,则△AOB的面积为16,△BOC的面积为112,△AOC的面积为18,故△AOB,△BOC,△AOC的面积之比依次为16∶112∶18=4∶2∶3.
故选A.
5.若a,b,c均为单位向量,且a•b=0,则|a+b-c|的最小值为(  )
A.2-1  B.1  C.2+1  D.2
答案 A
解析 ∵a•b=0,且|a|=|b|=|c|=1,
∴|a+b|=2,
又∵(a+b)•c=|a+b||c|cos〈a+b,c〉=2cos〈a+b,c〉,
∴|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a•b-2a•c-2b•c=3-2(a+b)•c=3-22cos〈a+b,c〉,
∴当cos〈(a+b,c)〉=1时,
|a+b-c|2min=3-22=(2-1)2,
∴|a+b-c|的最小值为2-1.
6.已知向量m=(sin 2x,1),n=cos 2x,-32,f(x)=(m-n)•m,则函数f(x)的最小正周期与最大值分别为(  )
A.π,3+22  B.π2,3+22  C.π,72  D.π2,3
答案 B
解析 ∵m-n=sin 2x-cos 2x,52,
则f(x)=(m-n)•m=sin 2x(sin 2x-cos 2x)+52=sin22x-12sin 4x+52
=-12(cos 4x+sin 4x)+3=-22sin4x+π4+3,
∴f(x)的最小正周期T=2π4=π2,最大值为3+22,故选B.
7.(2017•湖北部分重点中学联考)已知P是△ABC所在平面内一点,若AP→=34BC→-23BA→,则△PBC与△ABC的面积的比为(  )
A.13  B.12  C.23  D.34
答案 A
解析 在线段AB上取D使AD=23AB,则AD→=-23BA→,过A作直线l使l∥BC,在l上取点E使AE→=34BC→,过D作l的平行线,过E作AB的平行线,设交点为P,则由平行四边形法则可得AP→=34BC→-23BA→,
设△PBC的高为h,△ABC的高为k,由三角形相似可得h∶k=1∶3,
∵△PBC与△ABC有公共的底边BC,
∴△PBC与△ABC的面积的比为13,故选A.
8.(2017届福建福州外国语学校期中)已知向量a,b满足|a|=22|b|≠0,且关于x的函数f(x)=2x3+3|a|x2+6a•bx+7在实数集R上单调递增,则向量a,b的夹角的取值范围是(  )
A.0,π6  B.0,π3  C.0,π4  D.π6,π4
答案 C
解析 求导可得f′(x)=6x2+6|a|x+6a•b,则由函数f(x)=2x3+3|a|x2+6a•bx+7在实数集R上单调递增,可得f′(x)=6x2+6|a|x+6a•b≥0恒成立,即x2+|a|x+a•b≥0恒成立,
故判别式Δ=a2-4a•b≤0恒成立,再由|a|=22|b|≠0,可得8|b|2≤82|b|2cos〈a,b〉,
∴cos〈a,b〉≥22,
又∵〈a,b〉∈[0,π],
∴〈a,b〉∈0,π4.
9.(2017•湖南长沙长郡中学)已知点M(1,0),A,B是椭圆x24+y2=1上的动点,且MA→•MB→=0,则MA→•BA→的取值范围是(  )
A.23,1  B.[1,9]  C.23,9  D.63,3
答案 C
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则MA→=(x1-1,y1),MB→=(x2-1,y2),BA→=(x1-x2,y1-y2),由题意有MA→•MB→=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,
所以MA→•BA→=(x1-1)(x1-x2)+y1(y1-y2)
=(x1-1)x1-(x1-1)x2+y21-y1y2
=x21-x1+y21-[(x1-1)(x2-1)+y1y2+(x1-1)]
=x21-x1+1-14x21-x1+1=34x21-2x1+2
=34x1-432+23,x1∈[-2,2].
所以当x=-2时,MA→•BA→有最大值9,
当x=43时,MA→•BA→有最小值23,故选C.
10.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,且与双曲线在第一象限的交点为P,设O为坐标原点,若OP→=λOA→+μOB→(λ,μ∈R),λμ=18,则该双曲线的离心率为(  )
A.322  B.2  C.233  D.2
答案 D
解析 双曲线的渐近线为y=±bax,焦点F(c,0),则Ac,bca,Bc,-bca,Pc,b2a,因为OP→=λOA→+μOB→,所以c,b2a=λ+μc,λ-μbca,所以λ+μ=1,λ-μ=bc,
解得λ=c+b2c,μ=c-b2c,又由λμ=18,得c2-b24c2=18,
解得a2c2=12,
所以e=2,故选D.
11.若点O,F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任一点,则OP→•FP→的最大值为______________.
答案 6
解析 设P(x,y),则OP→•FP→=(x,y)•(x+1,y)=x2+x+y2,又点P在椭圆上,故x24+y23=1,
所以x2+x+3-34x2=14x2+x+3=14(x+2)2+2,又-2≤x≤2,所以当x=2时,14(x+2)2+2取得最大值为6,即OP→•FP→的最大值为6.
12.(2017•江西抚州市七校联考) 在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2+b2-c2=3ab,且acsin B=23sin C,则CA→•CB→=________.
答案 3
解析 由a2+b2-c2=3ab,得2cos C=3,即cos C=32,由acsin B=23sin C,得abc=23c,即ab=23,CA→•CB→=abcos C=23×32=3.
13.(2017届河南开封月考)过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)(c>0),作圆x2+y2=a24的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若OP→=2OE→-OF→,则双曲线的离心率为________.
 
答案 102
解析 由OP→=2OE→-OF→,得
OE→=12(OF→+OP→)可知,E为PF的中点,令右焦点为F′,
则O为FF′的中点,PF′=2OE=a,
∵E为切点,
∴OE⊥PF,PF′⊥PF,|PF|-|PF′|=2a,|PF|=3a,|PF|2+|PF′|2=|FF′|2,
则10a2=4c2,e=102.
14.(2017•北京市丰台区二模)已知O为△ABC的外心,且BO→=λBA→+μBC→.
①若∠C=90°,则λ+μ=______________;
②若∠ABC=60°,则λ+μ的最大值为______________.
答案 12 23
解析 ①若∠C=90°,则O为AB边的中点, BO→=12BA→,即λ=12,μ=0,故填12.
 ②设△ABC的三边长分别为a,b,c,因为O为△ABC的外心,且BO→=λBA→+μBC→,
所以BO→•BA→=λBA→2+μBA→•BC→,BO→•BC→=λBA→•BC→+μBC→2,即12c2=λc2+12μac,12a2=12λac+μa2,
化简得λc+12μa=12c,12λc+μa=12a,解得λ=23-a3c,μ=23-c3a,
则λ+μ=43-a3c+c3a≤43-23=23,当且仅当△ABC为等边三角形时“=”成立.
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资料名称:2018年高考数学理科总复习压轴小题突破练5:向量有关.doc
文件大小:0 K
版本年级:高考汇编
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