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2018年高考数学理科总复习压轴小题突破练6:新定义、推理证明.doc
上传者:佚名 点击数: 更新时间:2018/2/28 22:16:55
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6.与新定义、推理证明有关的压轴小题
1.有三支股票A,B,C,28位股民的持有情况如下:每位股民至少持有其中一支股票,在不持有A股票的人中,持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍,在持有A股票的人中,只持有A股票的人数比除了持有A股票外同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中,有一半持有A股票,则只持有B股票的股民人数是(  )
A.7  B.6  C.5  D.4
答案 A
解析 设只持有A股票的人数为X(如图所示),
 
则持有A股票还持有其它股票的人数为X-1(图中d+e+f的部分),因为只持有一支股票的人中,有一半没持有B或C股票,则只持有了B或C股票的人数和为X(图中b+c部分).假设只同时持有了B和C股票的人数为a,那么X+X-1+X+a=28,即3X+a=29,则X的取值可能是:9,8,7,6,5,4,3,2,1.与之对应的a值为:2,5,8,11,14,17,20,23,26.
因为没持有A股票的股民中,持有B股票的人数为持有C股票人数的2倍,得b+a=2(c+a),即X-a=3c,故X=8,a=5时满足题意,故c=1,b=7,故只持有B股票的股民人数是7,故选A.
2.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)|x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为(  )
A.77  B.49  C.45  D.30
答案 C
解析 因为集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z}所以集合A中有5个元素(即5个点),集合B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}中有25个元素(即25个点),集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的横纵坐标都为整数的点(除去四个顶点),即7×7-4=45(个).
 
3.某学校要招开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x](其中[x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(  )
A.y=x+510  B.y=x+410  C.y=x+310  D.y=x10
答案 C
解析 根据题意,当x=16时,y=1,所以选项A,B不正确,当x=17时,y=2,所以D不正确,故选C.
4.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是(  )
A.设数列{an}的前n项和为Sn,由an=2n-1,求出S1=12,S2=22,S3=32,…,推断:Sn=n2
B.由f(x)=xcos x满足f(-x)=-f(x)对∀x∈R都成立,推断:f(x)=xcos x为奇函数
C.由圆x2+y2=r2的面积S=πr2,推断:椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积S=πab
D.由(1+1)2>21,(2+1)2>22,(3+1)2>23,…,推断:对一切n∈N*,(n+1)2>2n
答案 A
解析 选项A由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列{an}是等差数列,其前n项和Sn=n1+2n-12=n2,选项D中的推理属于归纳推理,但结论不正确.
5.给出以下数对序列:
(1,1)
(1,2)(2,1)
(1,3)(2,2)(3,1)
(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)

若第i行的第j个数对为aij,如a43=(3,2),则anm等于(  )
A.(m,n-m+1)  B.(m-1,n-m)  C.(m-1,n-m+1)  D.(m,n-m)
答案 A
解析 由前4行的特点,归纳可得:若anm=(a,b),则a=m,b=n-m+1,∴anm=(m,n-m+1).
6.若函数f(x),g(x)满足ʃ1-1f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:
①f(x)=sin12x,g(x)=cos12x;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是(  )
A.0  B.1  C.2  D.3
答案 C
解析 对①,ʃ1-1sin 12x•cos 12xdx=ʃ1-112sin xdx=-12cosx|1-1=0,则f(x),g(x)为区间[-1,1]上的正交函数;
对②,ʃ1-1(x+1)(x-1)dx=ʃ1-1(x2-1)dx=13x3-x|1-1≠0,则f(x),g(x)不是区间[-1,1]上的正交函数;
对③,ʃ1-1x3dx=14x4|1-1=0,则f(x),g(x)为区间[-1,1]上的正交函数.
7.已知点A(0,1),点B在曲线C1:y=ex-1上,若线段AB与曲线C2:y=1x相交且交点恰为线段AB的中点,则称点B为曲线C1与曲线C2的一个“相关点”,记曲线C1与曲线C2的“相关点”的个数为n,则(  )
A.n=0  B.n=1  C.n=2  D.n>2
答案 B
解析 设B(t,et-1),则AB的中点为Pt2,et2,所以有et2=2t,et=4t,所以“相关点”的个数就是方程ex=4x解的个数,由于y=ex的图象在x轴上方,且是R上的增函数,y=4x在(0,+∞)上是减函数,所以它们的图象只有一个交点,即n=1,故选B.
8.老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”:有3个柱子甲、乙、丙,在甲柱上现有4个盘子,最上面的两个盘子大小相同,从第二个盘子往下大小不等,大的在下,小的在上(如图),把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束,在移动过程中每次只能移动一个盘子,甲、乙、丙柱都可以利用,且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下,设游戏结束需要移动的最少次数为n,则n等于(  )
 
A.7  B.8  C.11  D.15
答案 C
解析 由题意得,根据甲乙丙三图可知最上面的两个是一样大小的,所以比三个盘子不同时操作的次数(23-1)要多,比四个盘子不同时操作的次数(24-1)要少,相当于与操作三个不同盘子的时候相比,最上面的那个动了几次,就会增加几次,故游戏结束需要移动的最少次数为11.
9.定义域为[a,b]的函数y=f(x)图象的两个端点为A,B,M(x,y)是f(x)图象上任意一点,其中x=λa+(1-λ)b,λ∈[0,1].已知向量ON→=λOA→+(1-λ)OB→,若不等式|MN→|≤k恒成立,则称函数f(x)在[a,b]上“k阶线性近似”.若函数y=x-1x在[1,2]上“k阶线性近似”,则实数k的取值范围为(  )
A.[0,+∞)  B.112,+∞  C.32+2,+∞  D.32-2,+∞
答案 D
解析 由题意可知,A(1,0),B2,32,
M2-λ,2-λ-12-λ,N2-λ,321-λ,
∴|MN→|=32-32λ-2-λ+12-λ=2-λ2+12-λ-32,
∵2-λ2+12-λ≥22-λ2•12-λ=2,当且仅当2-λ2=12-λ,λ=2-2时,等号成立,
又∵λ∈[0,1],∴2-λ∈[1,2],
∴2-λ2+12-λ≤32,∴2-λ2+12-λ-32max=32-2,
即实数k的取值范围是32-2,+∞.
10.(2017届四川遂宁、广安、眉山、内江四市联考)已知函数y=f(x)与y=F(x)的图象关于y轴对称,当函数y=f(x)和y=F(x)在区间[a,b]同时递增或同时递减时,把区间[a,b]叫做函数y=f(x)的“不动区间”,若区间[1,2]为函数y=2x-t的“不动区间”,则实数t的取值范围是(  )
A.(0,2]  B.12,+∞  C.12,2  D.12,2∪[4,+∞)
答案 C
解析 易知y=|2x-t|与y=12x-t在[1,2]上单调性相同,当两个函数递增时,y=|2x-t|与y=12x-t的图象如图1所示,易知log2t≤1,-log2t≤1,解得12≤t≤2;
 
当两个函数递减时,y=|2x-t|的图象如图2所示,此时y=|2x-t|关于y轴对称的函数y=12x-t不可能在[1,2]上为减函数.
综上所述,12≤t≤2,故选C.
11.将全体正整数排成一个三角形数阵:
1
2  3
4  5  6
7  8  9  10

根据以上排列规律,数阵中第n(n>3)行从左至右的第3个数是________.
答案 n2-n+62
解析 前n-1行共有正整数1+2+…+(n-1)=nn-12个,即n2-n2个,因此第n行从左至右的第3个数是全体正整数中第n2-n2+3个,即为n2-n+62.
12.设数列{an}的前n项和为Sn,若SnS2n为常数,则称数列{an}为“精致数列”. 已知等差数列{bn}的首项为1,公差不为0,若数列{bn}为“精致数列”,则数列{bn}的通项公式为__________.
答案 bn=2n-1(n∈N*)
解析 设等差数列{bn}的公差为d,由SnS2n为常数,设SnS2n=k且b1=1,得n+12n(n-1)d=k2n+12×2n2n-1d,即2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d,
整理得(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0,
因为对任意正整数n上式恒成立,
则d4k-1=0,2k-12-d=0,解得d=2,k=14,
所以数列{bn}的通项公式为bn=2n-1(n∈N*).
13.已知cosπ3=12,
cosπ5cos2π5=14,
cosπ7cos2π7cos3π7=18,
…,
(1)根据以上等式,可猜想出的一般结论是________;
(2)若数列{an}中,a1=cosπ3,a2=cosπ5cos2π5,a3=cosπ7cos2π7cos3π7,…,
前n项和Sn=1 0231 024,则n=________.
答案 (1)cosπ2n+1•cos2π2n+1•…•cosnπ2n+1=12n(n∈N*) (2)10
解析 (1)从题中所给的几个等式可知,第n个等式的左边应有n个余弦相乘,且分母均为2n+1,分子分别为π,2π,…,nπ,右边应为12n,故可以猜想出结论为cosπ2n+1•cos2π2n+1•…•cosnπ2n+1=12n(n∈N*).
(2)由(1)可知an=12n,
故Sn=121-12n1-12=1-12n=2n-12n=1 0231 024,
解得n=10.
14.(2016•四川)在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P′yx2+y2,-xx2+y2;当P是原点时,定义P的“伴随点”为它自身,平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题:
①若点A的“伴随点”是点A′,则点A′的“伴随点”是点A;
②单位圆的“伴随曲线”是它自身;
③若曲线C关于x轴对称,则其“伴随曲线”C′关于y轴对称;
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号)
答案 ②③
解析 对于①,若令A(1,1),则其伴随点为A′12,-12,而A′12,-12的伴随点为(-1,-1),而不是P.故错误;对于②,令单位圆上点的坐标为P(cos x,sin x),其伴随点为P′(sin x,-cos x)仍在单位圆上,故②正确;对于③,设曲线f(x,y)=0关于x轴对称,则f(x,-y)=0与曲线f(x,y)=0表示同一曲线,其伴随曲线分别为f yx2+y2,-xx2+y2=0与f -yx2+y2,-xx2+y2=0也表示同一曲线,又因为其伴随曲线分别为f yx2+y2,-xx2+y2=0与f -yx2+y2,-xx2+y2=0的图象关于y轴对称,所以③正确;对于④,反例为直线y=1,取三个点A(0,1),B(1,1),C(2,1),这三个点的伴随点分别是A′(1,0),B′12,-12,C′15,-25,而这三点不在同一条直线上.故④错误.所以正确的序号为②③.
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