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2018年高考数学理科总复习中档大题规范练4:概率与统计.doc
上传者:佚名 点击数: 更新时间:2018/2/28 22:20:26
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4.概率与统计
1.某学校甲、乙两个班各派10名同学参加英语口语比赛,并记录他们的成绩,得到如图所示的茎叶图.现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”.
 
(1)记甲班“口语王”人数为m,乙班“口语王”人数为n,比较m,n的大小;
(2)随机从“口语王”中选取2人,记X为来自甲班“口语王”的人数,求X的分布列和期望.
解 (1)因为x甲=60+72+75+77+80+80+84+88+91+9310=80,所以m=4,
x乙=61+64+70+72+73+85+86+88+94+9710=79,所以n=5,所以m<n.
(2)X取0,1,2,
所以P(X=0)=C04C25C29=518,
P(X=1)=C14C15C29=59,
P(X=2)=C24C05C29=16,
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 518
59
16


所以E(X)=0×518+1×59+2×16=89.
2.(2017届重庆市第一中学月考)为了解我校2017级本部和大学城校区的学生是否愿意参加自主招生培训的情况,对全年级2 000名高三学生进行了问卷调查,统计结果如下表:
校区 愿意参加 不愿意参加
重庆一中本部校区 220 980
重庆一中大学城校区 80 720

(1)若从愿意参加自主招生培训的同学中按分层抽样的方法抽取15人,则大学城校区应抽取几人;
(2)现对愿意参加自主招生的同学组织摸底考试,考试共有5道题,每题20分,对于这5道题,考生“如花姐”完全会答的有3题,不完全会的有2道,不完全会的每道题她得分S的概率满足:P(S=6k)=4-k6,k=1,2,3,假设解答各题之间没有影响,
①对于一道不完全会的题,求“如花姐”得分的期望E(S);
②试求“如花姐”在本次摸底考试中总得分的期望.
解 (1)大学城校区应抽取15×80220+80=4(人).
(2)①由题知:对一道不完全会的题,“如花姐”得分的分布列为P(S=6k)=4-k6,k=1,2,3,即
S 6 12 18
P 12
13
16


所以对于一道不完全会的题,“如花姐”得分的期望为
E(S)=6×12+12×13+18×16=10.
②记ξ为“如花姐”做2道不完全会的题的得分总和,
则ξ=12,18,24,30,36,
P(ξ=12)=12×12=14;
P(ξ=18)=12×13×2=13;
P(ξ=24)=12×16×2+13×13=518;
P(ξ=30)=13×16×2=19;
P(ξ=36)=16×16=136;
E(ξ)=12×14+18×13+24×518+30×19+36×136=20.
所以“如花姐”最后得分的期望为20×3+E(ξ)=80.
3.(2017•云南大理检测)某中学拟在高一下学期开设游泳选修课,为了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关,该学校对100名高一新生进行了问卷调查,得到如下列联表:
 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生  10 
女生 20  
合计   

已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35.
(1)请将上述列联表补充完整:并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关?并说明你的理由;
(2)针对问卷调查的100名学生,学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组,并在这6人中任选2人作为宣传组的组长,设这两人中男生人数为X,求X的分布列和期望.
下面的临界值表仅供参考:
P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

参考公式:K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d,其中n=a+b+c+d.
解 (1)因为从100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35,
所以喜欢游泳的学生人数为100×35=60.
其中女生有20人,则男生有40人,列联表补充如下:
 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生 40 10 50
女生 20 30 50
合计 60 40 100

因为K2=10040×30-20×10260×40×50×50≈16.67>10.828.
所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.
(2)喜欢游泳的共60人,按分层抽样抽取6人,则每个个体被抽到的概率均为110,
从而需抽取男生4人,女生2人.
故X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)=C22C26=115,
P(X=1)=C14C12C26=815,
P(X=2)=C24C26=615=25,
 
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 115
815
25


E(X)=0×115+1×815+2×25=43.
4.(2017•全国Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得x-=116i=116xi=9.97,s=116i=116xi-x-2=116i=116x2i-16x-2≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用样本平均数x-作为μ的估计值μ^,用样本标准差s作为σ的估计值σ^,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.997 4,0.997 416≈0.959 2,0.008≈0.09.
解 (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.997 4,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.002 6,故X~B(16,0.002 6).
因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 416≈0.040 8.
X的期望E(X)=16×0.002 6=0.041 6.
(2)(ⅰ)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.002 6,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小,因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.
(ⅱ)由x=9.97,s≈0.212,得μ的估计值μ^=9.97,σ的估计值σ^=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为115×(16×9.97-9.22)=10.02.
因此μ的估计值为10.02.
i=116x2i=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134.
剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为115×(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,
因此σ的估计值为0.008≈0.09.
5.(2017•重庆市调研)为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为:在30名男性驾驶员中,平均车速超过100 km/h的有20人,不超过100 km/h的有10人.在20名女性驾驶员中,平均车速超过100 km/h的有5人,不超过100 km/h的有15人.
(1)完成下面的列联表,并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100 km/h的人与性别有关;
 平均车速超过100 km/h人数 平均车速不超过100 km/h人数 合计
男性驾驶员人数   
女性驾驶员人数   
合计   

(2)以上述数据样本来估计总体,现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆,记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100 km/h的车辆数为ξ,若每次抽取的结果是相互独立的,求ξ的分布列和期望.
参考公式:K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d,其中n=a+b+c+d.
参考数据:
P(K2≥k0) 0.150 0.100 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

解 (1)
 平均车速超过100 km/h人数 平均车速不超过100 km/h人数 合计
男性驾驶员人数 20 10 30
女性驾驶员人数 5 15 20
合计 25 25 50

∵K2=5020×15-10×5230×20×25×25=253≈8.333>7.879,
∴有99.5%的把握认为平均车速超过100 km/h与性别有关.
(2)根据样本估计总体的理想,从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆,驾驶员为女性且车速不超过100 km/h的车辆的概率为1550=310.
∴ξ的可能取值为0,1,2,3,且ξ~B3,310,
∴P(ξ=0)=C0331007103=3431 000,
P(ξ=1)=C1331017102=4411 000,
P(ξ=2)=C2331027101=1891 000,
P(ξ=3)=C3331037100=271 000,
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P 3431 000
4411 000
1891 000
271 000


E(ξ)=0×3431 000+1×4411 000+2×1891 000+3×271 000=910=0.9或E(ξ)=np=3×310=0.9.
6.(2017届湖南株州模拟)某市对某环城快速车道进行限速,为了调查该道路车速情况,于某个时段随机对100辆车的速度进行取样,测量的车速制成如下条形图:
 
经计算:样本的平均值μ=85,标准差σ=2.2,以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度,现规定车速小于μ-3σ或车速大于μ+2σ是需矫正速度.
(1)从该快速车道上所有车辆中任取1个,求该车辆是需矫正速度的概率;
(2)从样本中任取2个车辆,求这2个车辆均是需矫正速度的概率;
(3)从该快速车道上所有车辆中任取2个,记其中是需矫正速度的个数为ξ,求ξ的分布列和期望.
解 (1)记事件A为“从该快速车道上所有车辆中任取1个,该车辆是需矫正速度”.
因为μ-3σ=78.4,μ+2σ=89.4,
由样本条形图可知,所求的概率为
P(A)=P(x<μ-3σ)+P(x>μ+2σ)=P(x<78.4)+P(x>89.4)
=1100+4100=120.
(2)记事件B为“从样本中任取2个车辆,这2个车辆均是需矫正速度”.
由题设可知,样本容量为100,又需矫正速度个数为5,故所求概率为P(B)=C25C2100=1495.
(3)需矫正速度的个数ξ服从二项分布,即ξ~B2,120,
所以Pξ=0=C02120019202=361400,
Pξ=1=C12120119201=19200,
Pξ=2=C22120219200=1400,
因此ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P 361400
19200
1400


由ξ~B2,120知,期望E(ξ)=2×120=110.

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