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2012-2013学年九年级上册期末数学试卷
作者:佚名 文章来源:本站原创 点击数: 更新时间:2013-12-25 13:30:49

简介

 2012-2013学年九年级(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、精心选一选(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
1.(3分)下面四幅图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子,按照时间的先后顺序正确的是(  )
 
  A. A⇒B⇒C⇒D B. D⇒B⇒C⇒A C. C⇒D⇒A⇒B D. A⇒C⇒B⇒D

考点: 平行投影.
分析: 解:根据平行投影的特点和规律可知,C,D是上午,A,B是下午,根据影子的长度可知先后为C→D→A→B.
解答: 解:根据平行投影的特点和规律可知,C,D是上午,A,B是下午,
根据影子的长度可知先后为C→D→A→B.
故选C.
点评: 本题考查平行投影的特点和规律.在不同时刻,同一物体的影子的方向和大小可能不同,不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变,方向也在改变,就北半球而言,从早晨到傍晚物体的指向是:西﹣西北﹣北﹣东北﹣东,影长由长变短,再变长.
 
2.(3分)已知直角三角形的两边长是方程x2﹣7x+12=0的两根,则第三边长为(  )
  A. 7 B. 5 C.   D. 5或

考点: 勾股定理;解一元二次方程-因式分解法.
专题: 分类讨论.
分析: 求出方程的解,得出直角三角形的两边长,分为两种情况:①当3和4是两直角边时,②当4是斜边,3是直角边时,根据勾股定理求出第三边即可.
解答: 解:x2﹣7x+12=0,
(x﹣3)(x﹣4)=0,
x﹣3=0,x﹣4=0,
解得:x1=3,x2=4,
即直角三角形的两边是3和4,
当3和4是两直角边时,第三边是 =5;
当4是斜边,3是直角边时,第三边是  = ,
即第三边是5或 ,
故选D.
点评: 本题考查了解一元二次方程和勾股定理,注意:解此题时要进行分类讨论.
 
3.(3分)已知x=3是关于x的方程 x2﹣2a+1=0的一个解,则2a的值是(  )
  A. 11 B. ﹣6.5 C. 13 D. ﹣13

考点: 一元二次方程的解.
专题: 计算题.
分析: 一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值;即用这个数代替未知数所得式子仍然成立;将x=3代入原方程即可求得2a的值.
解答: 解:把x=3代入原方程得: ×9﹣2a+1=0,
∴2a=13;
故选C.
点评: 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.
 
4.(3分)下列命题中错误的(  )
  A. 一对邻角互补的四边形是平行四边形
  B. 一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形
  C. 等腰梯形的对角线相等
  D. 平行四边形的对角线互相平分

考点: 命题与定理.
分析: 利用梯形可对A进行判断;根据平行四边形的判定方法对B进行判断;根据等腰梯形的性质对C进行判断;根据平行四边形的性质对D进行判断.
解答: 解:A、直角梯形的一对邻角互补,所以A选项的命题为假命题;
B、一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形,所以B选项为真命题;
C、等腰梯形的对角线相等,所以C选项为真命题;
D、平行四边形的对角线互相平分,所以D选项为真命题.
故选A.
点评: 本题考查了命题与定理:判断事物的语句叫命题;正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题;经过推理论证的真命题称为定理.
 
5.(3分)(2007•洞头县二模)如图,在直角坐标系中,直线y=6﹣x与函数 (x>0)的图象相交于点A、B,设A点的坐标为(x1,y1),那么长为x1,宽为y1的矩形面积和周长分别是(  )
 
  A. 4,12 B. 4,6 C. 8,12 D. 8,6

考点: 反比例函数与一次函数的交点问题.
专题: 探究型.
分析: 先根据两函数图象的交点在第一象限可知x>0,y>0,再根据两函数有交点可列出关于x、y的方程组,求出x,y的值,再根据矩形的面积及周长公式进行解答即可.
解答: 解:∵两函数图象的交点在第一象限,
∴x>0,y>0,
∴ ,
∴ =6﹣x,
∴x2﹣6x+4=0,
解得x=3± ,
∵A在B的左边,
∴x=3﹣ ,y=3+ ,即A(3﹣ ,3+ ),
∴矩形的面积=(3﹣ )(3+ )=4;
矩形的周长=2(3﹣ )+2(3+ )=12.
故选A.
点评: 本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题,根据题意得出关于x、y的方程组是解答此题的关键.
 
6.(3分)如果点A(﹣1,y1)、B(1,y2)、C( ,y3)是反比例函数 图象上的三个点,则下列结论正确的是(  )
  A. y1>y2>y3 B. y3>y2>y1 C. y2>y1>y3 D. y3>y1>y2

考点: 反比例函数图象上点的坐标特征.
分析: 根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数所在象限为二、四,其中在第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标,进而判断在同一象限内的点B和点C的纵坐标的大小即可.
解答: 解:∵反比例函数的比例系数为﹣1,
∴图象的两个分支在二、四象限;
∵第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标,点A在第二象限,点B、C在第四象限,
∴y1最大,
∵1> ,y随x的增大而增大,
∴y2>y3,
∴y1>y2>y3.
故选A.
点评: 考查反比例函数图象上点的坐标特征;用到的知识点为:反比例函数的比例系数小于0,图象的2个分支在二、四象限;第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标;在同一象限内,y随x的增大而增大.
 
7.(3分)在联欢晚会上,有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上,他们在玩抢凳子游戏,要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放的最适当的位置在△ABC的(  )
  A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点
  C. 三边上高的交点 D. 三边中垂线的交点

考点: 线段垂直平分线的性质.
专题: 应用题.
分析: 为使游戏公平,要使凳子到三个人的距离相等,于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知,要放在三边中垂线的交点上.
解答: 解:利用线段垂直平分线的性质得:要放在三边中垂线的交点上.
故选D.
点评: 本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用;利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力,要注意培养.想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键.
 
8.(3分)(2009•荆州)如图,将边长为8cm的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在F处,折痕为MN,则线段CN长是(  )
 
  A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm

考点: 勾股定理;翻折变换(折叠问题).
专题: 压轴题.
分析: 根据折叠的性质,只要求出DN就可以求出NE,在直角△CEN中,若设CN=x,则DN=NE=8﹣x,CE=4cm,根据勾股定理就可以列出方程,从而解出CN的长.
解答: 解:设CN=xcm,则DN=(8﹣x)cm,由折叠的性质知EN=DN=(8﹣x)cm,
而EC= BC=4cm,在Rt△ECN中,由勾股定理可知EN2=EC2+CN2,即(8﹣x)2=16+x2,
整理得16x=48,所以x=3.
故选A.
点评: 折叠问题其实质是轴对称,对应线段相等,对应角相等,通常用勾股定理解决折叠问题.
 
二、认真填一填:(本大题共8小题,每小题3分,共24分.)
9.(3分)已知 是关于x的方程:x2﹣6x+a=0的一个解,则2a﹣1的值是 13 .

考点: 一元二次方程的解.
分析: 把x= 代入关于x的方程x2﹣6x+a=0,列出关于a的方程,通过解该方程来求得a的值,然后把a的值代入所求的代数式并求值即可.
解答: 解:由题意,得
(3﹣ )2﹣6(3﹣ )+a=0,即﹣7+a=0,
解得a=7,
则2a﹣1=2×7﹣1=13.
故答案是:13.
点评: 本题主要考查了方程的解的定义.方程的根即方程的解,就是能使方程左右两边相等的未知数的值.
 
10.(3分)在一个有40万人口的县,随机调查了3000人,其中有2130人看中央电视台的《焦点访谈》,在该县随便问一个人,他看《焦点访谈》的概率大约是   .

考点: 概率公式.
专题: 计算题.
分析: 根据随机事件概率大小的求法,找准两点:①符合条件的情况数目;②全部情况的总数.
二者的比值就是其发生的概率的大小.
解答: 解:由题意知:3000人中有2130人看中央电视台的《焦点访谈》,
∴在该县随便问一个人,他看《焦点访谈》的概率大约是 = .
故答案为: .
点评: 此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)= .
 
11.(3分)菱形有一个内角为60°,较短的对角线长为6,则它的面积为 18  .

考点: 菱形的性质.
分析: 根据菱形对角线垂直且互相平分,且每条对角线平分它们的夹角,即可得出菱形的另一一条对角线长,再利用菱形的面积公式求出即可.
解答: 解:如图所示:∵菱形有一个内角为60°,较短的对角线长为6,
∴设∠BAD=60°,BD=6,
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠BAC=∠DAC=30°,DO=BO=3,
∴AO= =3 ,
∴AC=6 ,
则它的面积为: ×6×6 =18 .
故答案为:18 .
 
点评: 此题主要考查了菱形的性质,熟练掌握菱形的面积公式以及对角线之间的关系是解题关键.
 
12.(3分)(2012•临邑县一模)依次连接菱形各边中点所得到的四边形是 矩形 .

考点: 矩形的判定;平行线的性质;三角形中位线定理;平行四边形的判定;菱形的性质.
专题: 证明题.
分析: 连接AC、BD交于O,根据三角形的中位线定理推出EF∥BD∥HG,EH∥AC∥FG,得出四边形EFGH是平行四边形,根据菱形性质推出AC⊥BD,推出EF⊥EH,即可得出答案.
解答: 解:
连接AC、BD交于O,
∵E、F、G、H分别是AB、AD、CD、BC的中点,
∴EF∥BD,FG∥AC,HG∥BD,EH∥AC,
∴EF∥HG,EH∥FG,
∴四边形EFGH是平行四边形,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∵EF∥BD,EH∥AC,
∴EF⊥EH,
∴∠FEH=90°,
∴平行四边形EFGH是矩形,
故答案为:矩形.
点评: 本题考查了矩形的判定,菱形的性质,平行四边形的判定,平行线性质等知识点的运用,主要考查学生能否正确运用性质进行推理,题目比较典型,难度适中.
 
13.(3分)如图,是一个几何体的三视图,那么这个几何体是 空心的圆柱 .
 

考点: 由三视图判断几何体.
分析: 两个视图是矩形,一个视图是个圆环,那么符合这样条件的几何体是空心圆柱.
解答: 解:如图,该几何体的三视图中两个视图是矩形,一个视图是个圆环,故该几何体为空心圆柱.
点评: 本题考查由三视图确定几何体的形状,主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认知能力.
 
14.(3分)用配方法将二次三项式x2+4x﹣96变形,结果为 (x+2)2﹣100 .

考点: 配方法的应用.
专题: 计算题.
分析: 前两项加上4再减去4变形,利用完全平方公式化简即可得到结果.
解答: 解:x2+4x﹣96=x2+4x+4﹣100=(x+2)2﹣100.
故答案为:(x+2)2﹣100
点评: 此题考查了配方法的应用,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
 
15.(3分)(2009•安顺)如图,若将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形ABCD的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的最小内角等于 30 度.
 

考点: 平行四边形的性质.
专题: 计算题;压轴题.
分析: 要使其面积为矩形面积的一半,平行四边形ABCD的高必须是矩形宽的一半,根据直角三角形中30°的角对的直角边等于斜边的一半可知,这个平行四边形的最小内角等于30度.
解答: 
解:∵平行四边形的面积为矩形的一半且同底BC,
∴平行四边形ABCD的高AE是矩形宽AB的一半.
在直角三角形ABE中,AE= AB,
∴∠ADC=30°.
故答案为30.
点评: 主要考查了平行四边形的面积公式和基本性质.平行四边形的面积等于底乘高.
 
16.(3分)如图,一个正方形摆放在桌面上,则正方形的边长为   .
 

考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理.
分析: 标注字母,根据正方形的性质可得AB=AD,∠BAD=90°,再根据同角的余角相等求出∠1=∠3,然后利用“角角边”字母△ABE和△DAF全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=DF,再利用勾股定理列式计算即可得解.
解答: 解:如图,由正方形可得,AB=AD,∠BAD=90°,
∠1+∠2=180°﹣90°=90°,
∵BE⊥AE,
∴∠2+∠3=180°﹣90°=90°,
∴∠1=∠3,
在△ABE和△DAF中,
 ,
∴△ABE≌△DAF(AAS),
∴AE=DF=1,
在Rt△ABE中,AB= = = ,
即正方形的边长为 .
故答案为: .
 
点评: 本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理的应用,利用三角形全等,把长度为1、2的边转化为一个直角三角形的两直角边是解题的关键.
 
三、细心做一做(17题每小题12分共12分18题8分)
17.(12分)(1)解方程:
(2)解方程:x2+4x﹣6=0.

考点: 解一元二次方程-公式法;解一元二次方程-配方法.
分析: (1)求出b2﹣4ac的值,再代入公式求出即可;
(2)求出b2﹣4ac的值,再代入公式求出即可.
解答: 解:(1) ,
b2﹣4ac=(﹣2 )2﹣4×2×1=4,
x= ,
x1= ,x2= .(2)x2+4x﹣6=0,
b2﹣4ac=42﹣4×1×(﹣6)=40,
x= ,
x1=﹣2+ ,x2=﹣2﹣ .
点评: 本题考查了解一元二次方程的应用,主要考查学生的计算能力.
 
18.(8分)如图,一墙墩(用线段AB表示)的影子是BC,小明(用线段DE表示)的影子是EF,在M处有一颗大树,它的影子是MN.
(1)试判断是路灯还是太阳光,如果是路灯确定路灯的位置(用点P表示).如果是太阳光请画出光线.
(2)在图中画出表示大树高的线段.
(3)若小明的眼睛近似地看成是点D,试画图分析小明能否看见大树.
 

考点: 平行投影;视点、视角和盲区.
分析: (1)根据光线相交于一点得出确定路灯的位置;
(2)利用AB,DE,确定大树的高,
(3)运用视角连接AD,即可得出能否看见大树.
解答: 解:(1)根据光线相交于一点,即可得出路灯确定路灯的位置;
(2)如图所示:
(3)如图所示,小明的眼睛近似地看成是点D,小明不能看见大树.
 
点评: 此题主要考查了平行投影与中心投影以及视角问题,根据已知确定住P点的位置是解决问题的关键.
 
四、解答题(19题7分、20题9分)
19.(7分)(2005•南通)杨华与季红用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏,正面如图1所示,背面完全一样,将它们背面朝上搅匀后,同时抽出两张.规则如下:
 
当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时,杨华得1分;
当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时,季红得1分(如图2).
问题:游戏规则对双方公平吗?请说明理由;若你认为不公平,如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平?

考点: 游戏公平性.
分析: 游戏是否公平,关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等,即判断双方取胜的概率是否相等,或转化为在总情况明确的情况下,判断双方取胜所包含的情况数目是否相等.
解答: 解:(1)这个游戏对双方不公平.
∵P(拼成电灯)= ;P(拼成小人)= ;P(拼成房子)= ;
P(拼成小山)= ,
∴杨华平均每次得分为 (分);
季红平均每次得分为 (分).
∵ < ,
∴游戏对双方不公平.(2)改为:当拼成的图形是小人时杨华得3分,其余规则不变,
就能使游戏对双方公平.(答案不惟一,其他规则可参照给分)
点评: 本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平,否则就不公平.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
 
20.(9分)如图,已知直线y=﹣x+4与反比例函数 的图象相交于点A(﹣2,a),并且与x轴相交于点B.
(1)求a的值;
(2)求反比例函数的表达式;
(3)求△AOB的面积.
 

考点: 反比例函数综合题.
专题: 待定系数法.
分析: (1)把A的坐标代入直线解析式求a;
(2)把求出的A点坐标代入反比例解析式中求k,从而得解析式;求B点坐标,结合A点坐标求面积.
解答: 解:(1)将A(﹣2,a)代入y=﹣x+4中,得:a=﹣(﹣2)+4,所以a=6(2)由(1)得:A(﹣2,6)
将A(﹣2,6)代入 中,得到: ,即k=﹣12
所以反比例函数的表达式为: (3)如图:过A点作AD⊥x轴于D;
∵A(﹣2,6)
∴AD=6
在直线y=﹣x+4中,令y=0,得x=4
∴B(4,0),即OB=4
∴△AOB的面积S= OB×AD= ×4×6=12.
 
点评: 熟练掌握解析式的求法.在进行与线段有关的计算时,注意点的坐标与线段长度的关系.
 
五、(21、22题各10分)
21.(10分)将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形,做成一个无盖的盒子,盒子的容积是400cm3,求原铁皮的边长.

考点: 一元二次方程的应用.
专题: 几何图形问题.
分析: 本题可设原铁皮的边长为xcm,将这块正方形铁皮四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形,做成一个无盖的盒子后,盒子的底面积变为(x﹣2×4)2,其高则为4cm,根据体积公式可列出方程,然后解方程求出答案即可.
解答: 解:设原铁皮的边长为xcm,
依题意列方程得(x﹣2×4)2×4=400,
即(x﹣8)2=100,
所以x﹣8=±10,
x=8±10.
所以x1=18,x2=﹣2(舍去).
答:原铁皮的边长为18cm.
点评: 这类题目体现了数形结合的思想,通常把实际问题转换为方程求解,但应注意考虑解得合理性,即考虑解的取舍.
 
22.(10分)(2010•安顺)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E,
(1)求证:四边形ADCE为矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并给出证明.
 

考点: 矩形的判定;角平分线的性质;等腰三角形的性质;正方形的判定.
专题: 证明题;开放型.
分析: (1)根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形,已知CE⊥AN,AD⊥BC,所以求证∠DAE=90°,我样可以证明四边形ADCE为矩形.
(2)根据正方形的判定,我们可以假设当AD= BC,由已知可得,DC= BC,由(1)的结论可知四边形ADCE为矩形,所以证得,四边形ADCE为正方形.
解答: (1)证明:在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC,
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线,
∴∠MAE=∠CAE,
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE= 180°=90°,
又∵AD⊥BC,CE⊥AN,
∴∠ADC=∠CEA=90°,
∴四边形ADCE为矩形.(2)当△ABC满足∠BAC=90°时,四边形ADCE是一个正方形.
理由:∵AB=AC,
∴∠ACB=∠B=45°,
∵AD⊥BC,
∴∠CAD=∠ACD=45°,
∴DC=AD,
∵四边形ADCE为矩形,
∴矩形ADCE是正方形.
∴当∠BAC=90°时,四边形ADCE是一个正方形.
点评: 本题是以开放型试题,主要考查了对矩形的判定,正方形的判定,等腰三角形的性质,及角平分线的性质等知识点的综合运用.
 
六\(23、24题各10分)
23.(10分)某花圃用花盆培育某种花苗,经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株?

考点: 一元二次方程的应用.
分析: 根据已知假设每盆花苗增加x株,则每盆花苗有(x+3)株,得出平均单株盈利为(3﹣0.5x)元,由题意得(x+3)(3﹣0.5x)=10求出即可.
解答: 解:设每盆花苗增加x株,则每盆花苗有(x+3)株,
平均单株盈利为:(3﹣0.5x)元,
由题意得:(x+3)(3﹣0.5x)=10.
化简,整理,的x2﹣3x+2=0.
解这个方程,得x1=1,x2=2,
则3+1=4,2+3=5,
答:每盆应植4株或者5株.
点评: 此题考查了一元二次方程的应用,根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键.
 
24.(10分)(2006•中山)如图,在▱ABCD中,∠DAB=60°,点E、F分别在CD、AB的延长线上,且AE=AD,CF=CB.
(1)求证:四边形AFCE是平行四边形;
(2)若去掉已知条件的“∠DAB=60°”,上述的结论还成立吗?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
 

考点: 平行四边形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.
专题: 证明题;探究型.
分析: (1)由已知条件可得△AED,△CFB是正三角形,可得∠AEC=∠BFC=60°,∠EAF=∠FCE=120°,所以四边形AFCE是平行四边形.
(2)上述结论还成立,可以证明△ADE≌△CBF,可得∠AEC=∠BFC,∠EAF=∠FCE,所以四边形AFCE是平行四边形.
解答: (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB,∠DCB=∠DAB=60°.
∴∠ADE=∠CBF=60°.
∵AE=AD,CF=CB,
∴△AED,△CFB是正三角形.
∴∠AEC=∠BFC=60°,∠EAF=∠FCE=120°.
∴四边形AFCE是平行四边形.(2)解:上述结论还成立.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB,∠CDA=∠CBA,∠DCB=∠DAB,AD=BC,DC=AB.
∴∠ADE=∠CBF.
∵AE=AD,CF=CB,
∴∠AED=∠ADE,∠CFB=∠CBF.
∴∠AED=∠CFB.
又∵AD=BC,
在△ADE和△CBF中.
 ,
∴△ADE≌△CBF(AAS).
∴∠AED=∠BFC,∠EAD=∠FCB.
又∵∠DAB=∠BCD,
∴∠EAF=∠FCE.
∴四边形EAFC是平行四边形.
 
点评: 本题考查了等边三角形的性质及平行四边形的判定.多种知识综合运用是解题中经常要遇到的.
 
七、(12分)
25.(12分)已知反比例函数 和一次函数y=2x﹣1,其中一次函数的图象经过(a,b),(a+2,b+k)两点.
(1)求:反比例函数的解析式.
(2)如图,已知点A在第一象限,且同时在上述两函数的图象上.求点A的坐标.
(3)利用(2)的结果,问在x轴上是否存在点P,使得△AOP为等腰三角形?若存在,把符合条件的P点坐标直接写出来;若不存在,说明理由.
 

考点: 反比例函数综合题.
分析: (1)先把(a,b)、(a+2,b+k)代入y=2x+1得到 ,然后结果代数式变形可解得k=4,则可确定反比例函数解析式;
(2)把一次函数与反比例函数解析式组成方程组,再解方程组可确定A点坐标;
(3)先利用勾股计算出OA= ,过A点作AP1⊥x轴,则△OAP1为等腰三角形;作点O关于AP1的对称点P2,则△OAP2为等腰三角形;以O点为圆心,OA为半径画弧交x轴与P3,P4,则△OAP3、△OAP4为等腰三角形;然后利用线段长分别确定各点坐标.
解答: 解:(1)把(a,b)、(a+2,b+k)代入y=2x+1得 ,解得k=4,
所以反比例函数解析式为y= ;(2)解方程组 得 或 ,
∵A点在第一象限,
∴点A的坐标为(1,1);(3)存在.
OA= = ,
满足条件的点P坐标为( 1,0)、(2,0)、( ,0)、(﹣ ,0).
 
点评: 本题考查了反比例函数的综合题:掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的判定与性质;运用分类讨论的思想解决问题.
 
八、(14分)
26.(14分)(2010•鞍山)在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10.点E在下底边BC上,点F在腰AB上.
(1)若EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为x,试用含x的代数式表示△BEF的面积;
(2)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分?若存在,求出此时BE的长;若不存在,请说明理由;
(3)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1:2的两部分?若存在,求出此时BE的长;若不存在,请说明理由.
 

考点: 等腰梯形的性质;一元二次方程的应用.
专题: 压轴题;开放型.
分析: (1)先作AK⊥BC于K,FG⊥BC于G,根据等腰梯形的性质,可得BK= (BC﹣AD)=3,在Rt△ABK中,利用勾股定理可求出AK=4,由于AK、FG垂直于同一直线故平行,可得比例线段,求出FG= ,利用面积公式可得S△BEF=﹣ x2+ x(7≤x≤10,因为BF最大取5,故BE最小取7,又不能超过10);
(2)根据题意,结合(1)中面积的表达式,可以得到 S梯形ABCD=﹣ x2+ x,即14=﹣ x2+ x,解得,x1=7,x2=5(不合题意,舍去);
(3)仍然按照(1)和(2)的步骤和方法去做就可以了,注意不是分成相等的两份,而是1:2就可以了,得到关于x的一元二次方程,先求出根的判别式△,由于△<0,故不存在实数根.
解答: 解:(1)由已知条件得:
梯形周长为24,高4,面积为28.
过点F作FG⊥BC于G
∴BK= (BC﹣AD)= ×(10﹣4)=3,
∴AK= =4,
∵EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为x,
∴BF=12﹣x,
过点A作AK⊥BC于K
∴△BFG∽△BAK,
∴ ,
即: ,
则可得:FG= ×4
∴S△BEF= BE•FG=﹣ x2+ x(7≤x≤10);(3分)(2)存在(1分)
由(1)得:﹣ x2+ x=14,
x2﹣12x+35=0,
(x﹣7)(x﹣5)=0,
解得x1=7,x2=5(不合题意舍去)
∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分,此时BE=7;(3)不存在(1分)
假设存在,第一种情况:显然是:S△BEF:SAFECD=1:2,(BE+BF):(AF+AD+DC+CE)=1:2(1分),
梯形ABCD周长的三分之一为 =8,面积的三分之一为 .因为BE=X,
所以BF=(8﹣X)
∵FM∥AH,
∴△FBM∽△ABH,
∴BF:AB=FM:AH,
∴ = ,
∴FM= ,
∴△BEF的面积= ,
当  梯形ABCD的面积= 时,
∴ = ,
整理方程得:﹣3x2+24x﹣70=0,
△=576﹣840<0
∴不存在这样的实数x.
即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积.
同时分成1:2的两部分.(2分)
第二种情况:显然是:S△BEF:SAFECD=2:1,(BE+BF):(AF+AD+DC+CE)=2:1(1分),
梯形ABCD周长的三分之一为 =8,面积的三分之一为 .因为BE=x,
所以BF=(8﹣x)
∵FM∥AH,
∴△FBM∽△ABH,
∴BF:AB=FM:AH,
∴ ,
∴FM= ,
∴△BEF的面积= ,
当  梯形ABCD的面积= 时,
∴ = ,
整理方程得:3x2﹣24x+140=0,
△<0
∴不存在这样的实数x.
即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积.
同时分成1:2的两部分.
 
 
 
点评: 本题利用了等腰梯形的性质、垂直于同一直线的两直线平行,勾股定理,三角形、梯形面积公式,解一元二次方程,以及一元二次方程根的判别式等知识.
 



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