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安徽省太和二中高考导数解答题集锦之一(word版精品有答案)
作者:未知 文章来源:网上收集 点击数: 更新时间:2013-7-21 16:08:18

简介
安徽省太和二中高考导数解答题集锦之一(word版精品有答案)
赵玉苗编辑整理
1.已知函数f(x) = (k为常数,e=2.71828……是自然对数的底数),曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行。
(Ⅰ)求k的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)设g(x)=(x2 x) ,其中为f(x)的导函数,证明:对任意x>0,。
解析:由f(x) = 可得,而,即,解得;
(Ⅱ),令可得,
当时,;当时,。
于是在区间内为增函数;在内为减函数。
简证(Ⅲ),
当时, ,.
当时,要证。
只需证,然后构造函数即可证明。
2. 已知函数的最小值为,其中.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若对任意的,有成立,求实数的最小值;
(Ⅲ)证明.
答案: (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)
3. 已知函数满足满足;
(1)求的解析式及单调区间;
(2)若,求的最大值。
【解析】(1)
令得:

得:
在上单调递增

得:的解析式为
且单调递增区间为,单调递减区间为
(2)得
①当时,在上单调递增
时,与矛盾
②当时,
得:当时,

令;则

当时,
当时,的最大值为
4.设
(I)求在上的最小值;
(II)设曲线在点的切线方程为;求的值。
【解析】(I)设;则
①当时,在上是增函数
得:当时,的最小值为
②当时,
当且仅当时,的最小值为
(II)
由题意得:
5.已知函数f(x)=ex+ax2-ex,a∈R。
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)试确定a的取值范围,使得曲线y=f(x)上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P。
答案: (Ⅰ)(Ⅱ)
6. 已知函数=,其中a≠0.[来源&:zz%~s&tep.@com]
若对一切x∈R,≥1恒成立,求a的取值集合.
(2)在函数的图像上取定两点,,记直线AB的斜率为K,问:是否存在x0∈(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解析】(Ⅰ)若,则对一切,,这与题设矛盾,又,
故.
而令
当时,单调递减;当时,单调递增,故当时,取最小值
于是对一切恒成立,当且仅当
     .                  ①
令则
当时,单调递增;当时,单调递减.
故当时,取最大值.因此,当且仅当即时,①式成立.
综上所述,的取值集合为.
(Ⅱ)由题意知,
令则


令,则.
当时,单调递减;当时,单调递增.
故当,即
从而,又
所以
因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使单调递增,故这样的是唯一的,且.故当且仅当时, .
综上所述,存在使成立.且的取值范围为.
7. 设,曲线与直线在(0,0)点相切。
(Ⅰ)求的值。
(Ⅱ)证明:当时,。
答案:(Ⅰ) (Ⅱ)利用,构造函数可证.
8. 设函数.
(Ⅰ)设,,证明:在区间内存在唯一的零点;
(Ⅱ)设,若对任意,有,求的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设是在内的零点,判断数列的增减性。



9. 已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。
(Ⅰ)用和表示;
(Ⅱ)求对所有都有成立的的最小值;
(Ⅲ)当时,比较与的大小,并说明理由。
[解析](1)由已知得,交点A的坐标为,对则抛物线在点A处的切线方程为
由(1)知f(n)=,则
即知,对于所有的n成立,特别地,取n=2时,得到a≥
当,



>2n3 1
当n=0,1,2时,显然
故当a=时,对所有自然数都成立
所以满足条件的a的最小值是。
(3)由(1)知,则,
下面证明:
首先证明:当0设函数

当
故g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)min=g
所以,当0由0

10. 已知a>0,bR,函数.
(Ⅰ)证明:当0≤x≤1时,
(ⅰ)函数的最大值为|2a-b|﹢a;
(ⅱ) +|2a-b|﹢a≥0;
(Ⅱ) 若﹣1≤≤1对x[0,1]恒成立,求a+b的取值范围.
【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力。
(Ⅰ)
(ⅰ).
当b≤0时,>0在0≤x≤1上恒成立,
此时的最大值为:=|2a-b|﹢a;
当b>0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断,
此时的最大值为:
=|2a-b|﹢a;
综上所述:函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a;
(ⅱ) 要证+|2a-b|﹢a≥0,即证=﹣≤|2a-b|﹢a.
亦即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a,
∵,∴令.
当b≤0时,<0在0≤x≤1上恒成立,
此时的最大值为:=|2a-b|﹢a;
当b<0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断,


≤|2a-b|﹢a;
综上所述:函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a.
即+|2a-b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a,
且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大.
∵﹣1≤≤1对x[0,1]恒成立,
∴|2a-b|﹢a≤1.
取b为纵轴,a为横轴.
则可行域为:和,目标函数为z=a+b.
作图如下:
由图易得:当目标函数为z=a+b过P(1,2)时,有.
∴所求a+b的取值范围为:.

【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) .
11.设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 求函数的极值.
答案: (Ⅰ)(Ⅱ)3
12. 设函数f(x)= ax cosx,x∈[0,π].
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)设f(x)≤1 sinx,求a的取值范围.
答案: (Ⅰ)略(Ⅱ)


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