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安徽省太和一中2014届高三第一次摸底考试数学试卷及答案
作者:未知 文章来源:网上收集 点击数: 更新时间:2013-7-21 16:09:24

简介
安徽省太和一中2014届高三第一次摸底考试数学试卷
命题人 : 赵玉苗 2013.6
一.选择题(50分)
1.已知且则下列结论正确的是( D )
A. B. C. D.
2. 已知圆O的半径为2,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为两切点,设那么的最小值为( D )A.B. C. D.
3. 函数的定义域为,若存在闭区间,使得函数满足:①在内是单调函数;②在上的值域为,则称区间为的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有( D )
①;②;
③;④
(A)①②③④(B)①②④(C)①③④(D)①③
4. 数列满足,,,则的大小关系为( C )
(A)(B)(C)(D)大小关系不确定
5. 已知映射.设点,,点M 是线段AB上一动点,.当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时,点M的对应点所经过的路线长度为( C )A. B.  C. D.
6. 在直三棱柱ABC—ABC中,分别为棱AC、AB上的动点(不包括端点),若则线段DF长度的取值范围为( C )
A. B. C. D.
7. 设x,y满足约束条件,若目标函数的最大值为6,则的最小值为( A )ww.k@s@5@u.com A.1 B.3 C.2 D. 4
8. 用分别表示中的最大与最小者,有下列结论:①
②
③若则 ④若则
其中正确结论的个数是( B )
A.0 B.1 C.2 D.3
9. 已知两个非零向量和若,则
的取值范围是( D )
A.  B.  C.  D.
10. 设函数其中表示不超过的最大整数,如=-2,=1,=1,若直线y=与函数y=的图象恰有三个不同的交点,则的取值范围是( D )
A. B. C. D.
二.填空题(50分)
11. 已知函数,若,且,则的取值范围是 . (-1,1)
12. 已知是椭圆 的右焦点,点在椭圆上,线段与圆相切于点,且,则椭圆的离心率为 .
13. 定义在R上的函数,则的最小值是 .-
14. 已知=(cosθ,sinθ),=(3-cosθ,4-sinθ),若∥,则cos2θ=   .-
15. 如图,在面积为1的正内作正,使,
,,依此类推,在正内再作正
,……。记正的面积为,
则a1+a2+……+an= 
三.解答题(75分)
16. (本小题满分12分)已知:直线与抛物线交于A,B两点,O为坐标远点,且.
求证:直线恒过定点;
若,求直线的斜率的取值范围.
解:(1)若直线l与x轴不垂直,设其方程为y=kx b,与抛物线的交点坐标为,由得,即所以;又由得,则,即,
则的方程为,因此直线过定点(2,0);----------------------------------4分
若直线与x轴垂直,易得,l的方程为,因此直线过定点(2,0)
综上,因此直线恒过定点(2,0)。----------------------------------------------------------------6分
由(1)得因为,所以解之,得-----------------------12分
17. (本小题满分12分)已知函数
(I)求函数的单调区间.
(II)若求的取值范围.
解:(Ⅰ)的定义域为.…………………1分
=(),ww.k@s@5@u.com 高%考%资%源%网
设,只需讨论在上的符号.…………………2分
(1)若,即,由过定点,知在上恒正,故,在(0, )上为增函数.…………………3分
(2)若,当时,即时,知(当时,取“=”),故,在(0, )上为增函数;……………………4分
当时,由得,
当或时,,即,
当时,,即.
则在上为减函数,在,
上为增函数.………………5分
综上可得:当时,函数的单调增区间(0, );
当时,函数的单调增区间为,;
函数的单调减区间为.…………………6分
(Ⅱ)由条件可得,ww.k@s@5@u.com 高%考%资%源%网
则当时,恒成立,………………8分
令,则…………………9分
方法一:令,
则当时,,所以在(0, )上为减函数.
又,
所以在(0,1)上,;在(1, )上,.………10分
所以在(0,1)上为增函数;在(1, )上为减函数.
所以,所以……………12分
方法二:当时,;
当时,.……………10分
所以在(0,1)上为增函数;在(1, )上为减函数.
所以,所以………………12分
18. (本小题满分12分)在“环境保护低碳生活知识竞赛”第一环节测试中,设有A、B、C三道必答题,分值依次为20分、30分、50分.竞赛规定:若参赛选手连续两道题答题错误,则必答题总分记为零分;否则各题得分之和记为必答题总分已知某选手回答A、B、C三道题正确的概率分别为、、,且回答各题时相互之间没有影响
(I) 若此选手可以自由选择答题顺序,求其必答题总分为50分的概率;
(Ⅱ) 若此选手按A、B、C的顺序答题,求其必答题总分的分布列和数学期望.
解:(Ⅰ)记总分得50分为事件D,记A,B答对,C答错为事件D1,记A,B答错,C答对为事件D2,则D=D1 D2,且D1,D2互斥.……………1分
又,………………3分
.…………………5分
所以.
所以此选手可自由选择答题顺序,必答题总分为50分的概率为.……………6分
(Ⅱ)可能的取值是.……………7分
表示A,B,C三题均答对,
则,……………8分
同理,,
,ww.k@s@5@u.com 高%考%资%源%网
,
,
,
所以,的分布列为

100
80
70
50
30
0

P







……………10分
所以的数学期望
.……………12分
19. (本小题满分12分)已知数列中,
求证:当
求证:(e为自然对数的底数,参考数据) .
(I)证明:方法一:
∵,由得,
于是易得.………………2分
又,即
又∵,∴().…………………4分
方法二:数学归纳法
(1)当时,,命题成立.………………1分
(2)假设当()时命题成立,即,
当时,

∴时命题成立.………………3分
由(1)(2)可知,当时,.…………………4分
(II)证明:由(I)知
,……………5分
两边取自然对数得:.………………6分
令,
则当时,恒成立,
∴为上的减函数,∴
∴在时恒成立,………………7分

即(),………………9分
故,,
,ww.k@s@5@u.com  高%考%资%源%网
……………………………
,以上各式相加得:
,()…………10分
又∵,∴,∴(),………………11分
又∵,,
∴().…………………12分
20. (本小题满分13分)如图,四棱柱ABCD—ABCD中,AD平面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱AA=2.
(1)求证:CD∥平面ABBA;
(2)求直线BD与平面ACD所成角的正弦值;
(3)求二面角D—AC一A的余弦值.

21. (本小题满分14分)已知函数.
(1)当且,时,试用含的式子表示,并讨论的单调区间;
(2)若有零点,,且对函数定义域内一切满足的实数有.
①求的表达式;
②当时,求函数的图象与函数的图象的交点坐标.
解:(1), 由,故
时 由 得的单调增区间是,
由 得单调减区间是
同理时,的单调增区间,,单调减区间为……5分
(2)①由(1)及 (i)
又由 有知的零点在内,设,
则,结合(i)解得, ∴
②又设,先求与轴在的交点∵, 由 得 ;故,在单调递增,又,故与轴有唯一交点。即与的图象在区间上的唯一交点坐标为为所求 .


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