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2013年高考数学二轮复习:第7讲 三角函数的图象与性质
作者:未知 文章来源:网上收集 点击数: 更新时间:2013-8-20 14:27:08

简介
 三角函数与平面向量
 三角函数的图象与性质

1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质;会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象;掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质.
2. 高考试题中,三角函数题相对比较传统,位置靠前,通常是以简单题形式出现.因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性,特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等).
3. 三角函数是每年高考的必考内容,多数为基础题,难度属中档偏易.这几年的高考中加强了对三角函数定义、图象和性质的考查.在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法,如函数法、待定系数法、数形结合法等的训练.

1. 函数y=2sin2-1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数.
2.函数f(x)=-cosx在[0,+∞)内的零点个数为________.
3.函数f(x)=2cos2x+sin2x的最小值是________.
4.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=sinx,则f的值为________.

【例1】 设函数f(θ)=sinθ+cosθ,其中角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(x,y),且0≤θ≤π.
(1) 若点P的坐标是,求f(θ)的值;
(2) 若点P(x,y)为平面区域上的一个动点,试确定角θ的取值范围,并求函数f(θ)的最小值和最大值.
【例2】 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示.

(1) 求f(0)的值;
(2) 若0<φ<π,求函数f(x)在区间上的取值范围.
【例3】 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1) 求f的值;
(2) 将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间.
【例4】 已知函数f(x)=2sin2-cos2x-1,x∈R.
(1) 求f(x)的最小正周期;
(2) 若h(x)=f(x+t)的图象关于点对称,且t∈(0,π),求t的值;
(3) 当x∈时,不等式|f(x)-m|<3恒成立,求实数m的取值范围.

1. (2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终边上一点,且sinθ=-,则y=________.
2.(2010·全国)函数f(x)=sin-2sin2x的最小正周期是________.
3.(2009·全国)函数y=sincos的最大值为________.
4.(2010·广东)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π,则f(x)的单调递增区间是________.
(2011·四川)已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).
(1) 求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;
(2) 若f(x0)=,x0∈,求cos2x0的值.
5.(2009·福建)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,|φ|<.
(1) 若coscosφ-sinπsinφ=0,求φ的值;
(2) 在(1)的条件下,若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,求函数f(x)的解析式;并求最小正实数m,使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数.

(2009·重庆)(本小题满分13分)设函数f(x)=sin-2cos2+1.
(1) 求f(x)的最小正周期;
(2) 若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,求当x∈时,y=g(x)的最大值.
解:(1) f(x)=sinxcos-cosxsin-cosx
=sinx-cosx(3分)
=sin,(5分)
故f(x)的最小正周期为T ==8.(7分)
(2) (解法1)在y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),它关于x=1的对称点为(2-x,g(x)).
由题设条件,点(2-x,g(x))在y=f(x)的图象上,从而
g(x)=f(2-x)=sin=sin=cos.(10分)
当0≤x≤时,≤x+≤,因此y=g(x)在区间上的最大值为g(x)max=cos=.(13分)
(解法2)因区间关于x=1的对称区间为,且y=g(x)与y=f(x)的图象关于x=1对称,故y=g(x)在上的最大值为y=f(x)在上的最大值,
由(1)知f(x)=sin,
当≤x≤2时,-≤x-≤,
因此y=g(x)在上的最大值为g(x)max=sin=.(13分)
第7讲 三角函数的图象与性质

1. 若<x<,则函数y=tan2xtan3x的最大值为________.
【答案】 -8 解析:令tanx=t∈(1,+∞),y=,y′(t)=
得t=时y取最大值-8.
2. 已知函数f(x)=2cos2x+sin2x.
(1) 求f的值;
(2) 求f(x)的最大值和最小值.
解:(1) f=2cos+sin2=-1+=-.
(2) f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)=3cos2x-1,x∈R.
因为cosx∈[-1,1],所以当cosx=±1时,f(x)取最大值2;当cosx=0时,f(x)取最小值-1.
基础训练
1. π 奇 解析:y=-cos=-sin2x.
2. 1 解析:在[0,+∞)内作出函数y=,y=cosx的图象,可得到答案.
3. -+1 解析:f(x)=2cos2x+sin2x=sin+1.
4. - 解析:f=f=f=sin=-.
例题选讲
例1 解:(1) 根据三角函数定义得sinθ=,cosθ=,∴ f(θ)=2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ=,从而求出 f(θ)=2).
(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤,f(θ)=sinθ+cosθ=2sin,∴ θ=0,f(θ)min=1;θ=,f(θ)max=2.
(注: 注意条件,使用三角函数的定义; 一般情况下,研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时,常可以先将函数化简变形为y=Asin(ωx+φ)的形式)
例2 解:(1)由题图可知:A=,=π-=,ω=2,
2×+φ=2kπ+,φ=2kπ+,k∈Z,
f(0)=sin=.
(2) φ=,f(x)=sin.
因为0≤x≤,所以≤2x+≤π,所以0≤sin≤1.
即f(x)的取值范围为[0,].
(注:本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y=Asin(ωx+φ)的图像与性质以及诱导公式,运用数形结合思想,属于中档题)
变式训练 已知A为△ABC的内角,求y=cos2A+cos2的取值范围.
解: y=cos2A+cos2=+
=1++
=1+=1+cos.
∵ A为三角形内角,∴ 0<A<π,∴ -1≤cos≤1,
∴ y=cos2A+cos2的取值范围是.
例3 解:(1) f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)
=2
=2sin.
因为f(x)为偶函数,
所以对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立,
因此sin=sin.
即-sinωxcos+cosωxsin
=sinωxcos+cosωxsin,
整理得sinωxcos=0.
因为ω>0,且x∈R,所以cos=0.
又因为0<φ<π,故φ-=.
所以f(x)=2sin=2cosωx.
由题意得=2×,所以ω=2.
故f(x)=2cos2x.
因此f=2cos=.
(2) 将f(x)的图象向右平移个单位后,得到f的图象,
所以g(x)=f=2cos=2cos.
当2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z),
即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递减,
因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).
例4 解:(1)函数可化为f(x)=-cos-cos2x=2sin,故f(x)的最小正周期为π.
(2) h(x)=2sin.令2×+2t-=kπ,k∈Z.
又t∈(0,π),故t=或.
(3) 当x∈时,2x-∈, ∴ f(x)∈[1,2].
|f(x)-m|<3,即f(x)-3<m<f(x)+3,∴ 2-3<m<1+3,即-1<m<4.
变式训练 设函数f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4,x∈R,其中|t|≤1,将f(x)的最小值记为g(t).
(1) 求g(t)的表达式;
(2) 讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.
解:(1) f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4
=sin2x-2tsinx+4t3+t2-3t+3
=(sinx-t)2+4t3-3t+3.
由于(sinx-t)2≥0,|t|≤1,故当sinx=t时,f(x)达到其最小值g(t),即
g(t)=4t3-3t+3.
(2) g′(t)=12t2-3=3(2t+1)(2t-1),-1<t<1.
列表如下:
t

-




g′(t)
+
0
-
0
+

g(t)
 
极大值
 
极小值
 

由此可见,g(t)在区间和上单调增,在区间上单调减,极小值为g=2,极大值为g=4.
高考回顾
1. —8 解析:sinθ==-,解得y=-8或8(舍).
2. π 解析:f(x)=sin-2sin2x=sin-.
3.  解析: y=cosx=sin+.
4. ,k∈Z 解析: f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)=2sin.
∵ 周期为π,∴ ω=2,∴ f(x)=2sin.
2kπ-≤2x+≤2kπ+,即kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
5. 解: (1) 由f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1,得
f(x)=(2sinxcosx)+(2cos2x-1)=sin2x+cos2x=2sin.
所以函数的最小正周期为T==π.
因为x∈,所以2x+∈.
所以2x+∈,即x∈时,函数f(x)为增函数,而在x∈时,函数f(x)为减函数,所以f=2sin=2为最大值,f=2sin=-1为最小值.
(2) 由(1)知,f(x0)=2sin.
又由已知f(x0)=,则sin=.
因为x0∈,则2x0+∈.因此cos<0,
所以cos=-,于是cos2x0=cos,
=coscos+sinsin
=-×+×=.
6. 解:(1) 由coscosφ-sinπsinφ=0得coscosφ-sinsinφ=0
即cos=0,又|φ|<,∴ φ=.
(2) 由(1)得f(x)=sin,依题意,=,又T=,故ω=3,
∴ f(x)=sin,函数的图像向左平移m个单位后对应的函数为g(x)=sin,g(x)是偶函数,当且仅当3m+=kπ+(k∈Z),即m=+(k∈Z),从而最小正实数m=.



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