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2013年高考数学二轮复习:第8讲 三角变换与解三角形
作者:未知 文章来源:网上收集 点击数: 更新时间:2013-8-20 13:46:58

简介
 三角变换与解三角形

1. 掌握三角函数的公式(同角三角函数关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式)及应用;能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明;掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形.
2. 在复习过程中,要熟练掌握三角变换的所有公式,理解每个公式的意义,应用特点及常规使用方法等;熟悉三角变换常用的方法(化弦法、降幂法、角的变换法、“1”的变换等);掌握化简、求值和解三角形的常规题型;要注意掌握公式之间的内在联系.
3. 近年来高考对三角函数与向量联系问题的考查有所增加,三角函数知识在几何及实际问题中的应用也是考查重点,应给予充分的重视.新教材降低了对三角函数恒等变形的要求,但对两角和的正切考查一直是重点.

1. 若tanα=3,则的值等于________.
2.已知cos+sinα=,则sin的值是________.
3.在△ABC中,tanA=,tanC=,则角B的值为________.
4.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于________.

【例1】 已知cosα=,cos(α-β)=且0<β<α<.
(1) 求tan2α的值;
(2) 求β.
【例2】 在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a2-c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,求b.
【例3】 在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1-sin.
(1) 求sinC的值;
(2) 若a2+b2=4(a+b)-8,求边c的值.
【例4】 已知sin(2α+β)=3sinβ,设tanα=x,tanβ=y,记y=f(x).
(1) 求f(x)的解析式;
(2) 若角α是一个三角形的最小内角,试求函数f(x)的值域.

1. (2011·全国)已知α∈,tanα=2,则cosα=________.
2.(2011·江苏)已知tan=2,则的值为________.
3.(2011·重庆)已知sinα=+cosα,且α∈,则的值为________.
4.(2010·广东)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=, A+C=2B,则sinC=________.
5.(2011·广东)已知函数f(x)=2sin,x∈R.
(1) 求f的值;
(2) 设α,β∈,f=,f(3β+2π)=,求cos(α+β)的值.
6.(2011·全国)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c;已知asinA+csinC-asinC=bsinB.
(1) 求B;
(2) 若A=75°,b=2,求a,c.

(本小题满分14分)已知函数f(x)=2cos.
(1) 设θ∈,且f(θ)=+1,求θ的值;
(2) 在△ABC中,AB=1,f(C)=+1,且△ABC的面积为,求sinA+sinB的值.
解:(1) f(x)=2cos2-2sincos=(1+cosx)-sinx=2cos+.(3分)
由2cos+=+1, 得cos=.(5分)
于是x+=2kπ±(k∈Z),因为x∈,所以x=-或.(7分)
(2) 因为C∈(0,π),由(1)知C=.(9分)
因为△ABC的面积为,所以=absin,于是ab=2, ①
在△ABC中,设内角A、B的对边分别是a、b,
由余弦定理得1=a2+b2-2abcos=a2+b2-6,所以a2+b2=7,②
由①②可得或于是a+b=2+. (12分)
由正弦定理得,===,
所以sinA+sinB=(a+b)=1+. (14分)
第8讲 三角变换与解三角形

1. 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=ac,则角B的值为________.
【答案】 或 解析: 由余弦定理得=cosB, ∴ tanB·cosB=,sinB=,B为或.
2. 在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且=,
(1) 求角B的大小;
(2) 若△ABC最大边的边长为,且sinC=2sinA,求最小边边长.
解: (1)由=整理得(a+c)c=(b-a)(a+b),即ac+c2=b2-a2,
∴ cosB==-=-,∵ 0<B<π,∴ B=.
(2) ∵ B=, ∴ 最长边为b,∵ sinC=2sinA,∴ c=2a,∴ a为最小边,由余弦定理得()2=a2+4a2-2a·2a·,解得a2=1,∴ a=1,即最小边边长为1.
基础训练
1. 6 解析:=2tanα.
2. - 解析:cos+sinα=化为cosα+sinα+sinα=,sin=,sin=.
3.  解析:tanB=tan(π-A-C)=-tan(A+C)=-=-1.
4. 2 解析:由正弦定理得=,=,=,=2.
例题选讲
例1 解:(1)cosα=,α∈,∴ sinα=,tanα=4,tan2α=-.
(2) cosβ=cos(α-(α-β))=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=,β∈,∴ β=.
例2 解:(解法1)在△ABC中,∵ sinAcosC=3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理有 a·=3×·c,化简并整理得:2(a2-c2)=b2,又由已知a2-c2=2b,∴ 4b=b2,解得b=4或0(舍).
(解法2)由余弦定理得: a2-c2=b2-2bccosA.又a2-c2=2b,b≠0.
所以b=2ccosA+2, ①
又sinAcosC=3cosAsinC,∴ sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC,
sin(A+C)=4cosAsinC,即sinB=4cosAsinC,
由正弦定理得sinB=sinC,故b=4ccosA, ②
由①②,解得b=4.
变式训练 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.
(1) 若c=2,C=,且△ABC的面积S=,求a,b的值;
(2) 若sinC+sin(B-A)=sin2A,试判断△ABC的形状.
解: (1) 由余弦定理及已知条件得,a2+b2-ab=4,
又因为△ABC的面积等于,所以absinC=,得ab=4.
联立方程组解得a=2,b=2.
(2) 由题意得sinBcosA=sinAcosA,
当cosA=0时,A=,△ABC为直角三角形;
当cosA≠0时,得sinB=sinA,由正弦定理得a=b,
△ABC为等腰三角形.
所以,△ABC为直角三角形或等腰三角形.
例3 解:(1) 由已知得2sincos+1-2sin2=1-sin,
即sin=0,
由sin≠0得2cos-2sin+1=0,
即sin-cos=,两边平方得:sinC=.
(2) 由sin-cos=>0知sin>cos,则<<,即<C<π,则由sinC=得cosC=-,又a2+b2=4(a+b)-8,即(a-2)2+(b-2)2=0,故a=b=2,所以由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=8+2,c=+1.
变式训练 已知△ABC中,a、b、c是三个内角A、B、C的对边,关于x的不等式x2cosC+4xsinC+6<0的解集是空集.
(1) 求角C的最大值;
(2) 若c=,△ABC的面积S=,求当角C取最大值时a+b的值.
解: (1) ∵ 不等式x2cosC+4xsinC+6<0的解集是空集.
∴ 即得
故cosC≥,而cosC=0时解集不是空集.∴ 角C的最大值为60°.
(2) 当C=60°时,S△ABC=absinC=ab=, ∴ ab=6,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC,
∴ (a+b)2=c2+3ab=, ∴ a+b=.
例4 解:(1)(解法1)注意角的变换2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)-α.
(1) 由sin(2α+β)=3sinβ得,sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α],
则sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα,
∴ sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα,∴ tan(α+β)=2tanα,
于是=2tanα,即=2x,
∴ y=,即f(x)=.
(解法2) 直接展开,利用“1”的变换.
sin2αcosβ+cos2αsinβ=3sinβ,
2sinαcosαcosβ+(cos2α-sin2α)sinβ=3sinβ,
+tanβ=3tanβ,+tanβ=3tanβ,
∴ y=,即f(x)=.
(2) ∵ α角是一个三角形的最小内角,∴ 0<α≤,0<x≤,
f(x)=,设g(x)=2x+,则g(x)=2x+≥2(当且仅当x=时取等号),故函数f(x)的值域为.
高考回顾
1. - 解析:由cos2α===,又α∈,cosα<0,所以cosα=-.
2.  解析:∵ tan==2, ∴ tanx=, ∴ ===.
3. - 解析:sinα=+cosα得sinα-cosα=,sin=,==-=-2cos,sinα-cosα=,<α<, ∴ cos=,=-2×=-.
4. 1 解析:由三角形内角和定理得B=,根据正弦定理得=,即sinA=,1<,∴ A<B,∴ A=,C=,sinC=1.
5. 解:(1) f=2sin=2sin=.
(2) f=2sinα=, ∴ sinα=, ∵ α∈, ∴ cosα=.
f(3β+2π)=2sin=2cosβ=, ∴ cosβ=, ∵ β∈,
∴ sinβ=.∴ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=·-·=.
6. 解:(1) 由正弦定理asinA+csinC-asinC=bsinB,可变形为
a2+c2-ac=b2,即a2+c2-b2=ac,由余弦定理cosB===,又B∈(0,π),所以B=.
(2) 由sinA=sin(45°+30°)=·sinC=sin60°=.
由正弦定理a===+1,同理c===.第9讲 平面


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