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2013年高考数学二轮复习教学案:第1讲 集合与简单逻辑用语
作者:未知 文章来源:网上收集 点击数: 更新时间:2013-8-20 13:36:02

简介
 集合、简单逻辑用语、函数、 不等式、导数及应用
 集合与简单逻辑用语

1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键:弄清元素是函数关系式中自变量的取值?还是因变量的取值?还是曲线上的点?…
2. 数形结合是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决.
3. 已知集合A、B,当A∩B=时,你是否注意到“极端”情况:A=或B=?求集合的子集时是否忘记?分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化.
4. 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n-1,2n-1,2n-2.
5. 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.

1. A、B是非空集合,定义A×B={x|x∈A∪B,且xA∩B},若A={x∈R|y=},B={y|y=3x,x∈R},则A×B=______________.
2. 已知命题P: n∈N,2n>1 000,则 P为________.
3. 条件p:a∈M={x|x2-x<0},条件q:a∈N={x||x|<2},p是q的______________条件.
(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
4. 若命题“x∈R,x2+(a-1)x+1>0”是假命题,则实数a的取值范围为________.

【例1】 已知集合A={x|x2-3x-10≤0},集合B={x|p+1≤x≤2p-1}.若BA,求实数p的取值范围.
【例2】 设A={(x,y)|y2-x-1=0},B={(x,y)|4x2+2x-2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=?若存在,求出k,b的值;若不存在,请说明理由.
【例3】 (2011·广东)设S是整数集Z的非空子集,如果a,b∈S,有ab∈S,则称S关于数的乘法是封闭的,若T,V是Z的两个不相交的非空子集,T∪V=Z且a,b,c∈T,有abc∈T,x,y,z∈V,有xyz∈V.
则下列结论恒成立的是________.
A. T,V中至少有一个关于乘法封闭     B. T,V中至多有一个关于乘法封闭
C. T,V中有且只有一个关于乘法封闭    D. T,V中每一个关于乘法封闭
【例4】 已知a>0,函数f(x)=ax-bx2.
(1) 当b>0时,若x∈R,都有f(x)≤1,证明:0(2) 当b>1时,证明:x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2.

1. (2011·江苏)已知集合A={-1,1,2,4},B={-1,0,2},则A∩B=________.
2.(2011·天津)命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是________.
3.(2009·江苏)已知集合A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若AB,则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c=________.
4.(2009·陕西)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有________人.
5.(2011·陕西)设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有正整数根的充要条件是n=________.
6.(2011·福建)在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论:
①2 011∈[1];
②-3∈[3];
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];
④“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”.
其中,正确结论的个数是________个.

(2011·全国)(本小题满分14分)设a∈R,二次函数f(x)=ax2-2x-2a.若f(x)>0的解集为A,B={x|1解:由f(x)为二次函数知a≠0,令f(x)=0解得其两根为x1=-,x2=+,
由此可知x1<0,x2>0,(3分)
① 当a>0时,A={x|xx2},(5分)
A∩B≠的充要条件是x2<3,即+<3,解得a>,(9分)
② 当a<0时, A={x|x1A∩B≠的充要条件是x2>1,即+>1,解得a<-2,(13分)
综上,使A∩B≠成立的实数a的取值范围为(-∞,-2)∪.(14分)
一 集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用
第1讲 集合与简单逻辑用语

1. (2011·安徽)设集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7},则满足SA且S∩B≠的集合S的个数为________.
A. 57      B. 56      C. 49      D. 8
【答案】 B 解析:集合A的所有子集共有26=64个,其中不含4,5,6,7的子集有23=8个,所以集合S共有56个.故选B.
2. (2011·江苏)设集合A={(x,y)|≤(x-2)2+y2≤m2,x,y∈R}, B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R}, 若A∩B≠,则实数m的取值范围是________.
【答案】  解析:由A∩B≠得,A≠,所以m2≥,m≥或m≤0.当m≤0时,=-m>-m,且=-m>-m,又2+0=2>2m+1,所以集合A表示的区域和集合B表示的区域无公共部分;当m≥时,只要≤m或≤m,解得2-≤m≤2+或1-≤m≤1+,所以实数m的取值范围是.
点评:解决此类问题要挖掘问题的条件,并适当转化,画出必要的图形,得出求解实数m的取值范围的相关条件.
基础训练
1. (-∞,3) 解析:A=(-∞,0]∪[3,+∞),B=(0,+∞),A∪B=(-∞,+∞),A∩B=[3,+∞).
2. n∈N,2n≤1 000
3. 充分不必要 解析:M=(0,1)N=(-2,2).
4. a≥3或a≤-1 解析:Δ=(a-1)2-4≥0,a≥3或a≤-1.
例题选讲
例1 解:由x2-3x-10≤0得-2≤x≤5. ∴ A=[-2,5].
① 当B≠时,即p+1≤2p-1p≥2.由BA得-2≤p+1且2p-1≤5.得-3≤p≤3.∴ 2≤p≤3.
② 当B=时,即p+1>2p-1p<2.BA成立.综上得p≤3.
点评:从以上解答应看到:解决有关A∩B=,A∪B=A,A∪B=B或AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解,这需要在解题过程中全方位、多角度审视问题.
变式训练 设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M,如果M[1,4],求实数a的取值范围.
解: M[1,4]有n种情况:其一是M=,此时Δ<0;其二是M≠,此时Δ≥0,分三种情况计算a的取值范围.
设f(x)=x2-2ax+a+2,有Δ=(-2a)2-(4a+8)=4(a2-a-2),
① 当Δ<0时,-1<a<2,M=[1,4]成立;
② 当Δ=0时,a=-1或2,当a=-1时,M={-1}[1,4],当a=2时,M={2}[1,4];
③ 当Δ>0时,a<-1或a>2.设方程f(x)=0的两根为x1,x2,且x1<x2,那么M=[x1,x2],M[1,4]1≤x1<x2≤4
即解得:2<a≤,综上实数a的取值范围是.
例2 解: ∵ (A∪B)∩C=,∵A∩C=且B∩C=,
由  得k2x2+(2bk-1)x+b2-1=0,
∵ A∩C=,∴ k≠0,Δ1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)<0,
∴ 4k2-4bk+1<0,此不等式有解,其充要条件是16b2-16>0,即b2>1,①
∵ 
∴ 4x2+(2-2k)x+(5-2b)=0,
∵ B∩C=,∴ Δ2=4(1-k)2-16(5-2b)<0,
∴ k2-2k+8b-19<0, 从而8b<20,即b<2.5,   ②
由①②及b∈N,得b=2,代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组,得

∴ k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=.
点评:把集合所表示的意义读懂,分辨出所考查的知识点,进而解决问题.
变式训练 已知集合A=,B={(x,y)|y=kx+3},若A∩B=,求实数k的取值范围.
解: 集合A表示直线y=-3x-2上除去点(-1,1)外所有点的集合,集合B表示直线y=kx+3上所有点的集合,A∩B=,所以两直线平行或直线y=kx+3过点(-1,1),所以k=2或k=-3.
例3 【答案】 A 解析:由于T∪V=Z,故整数1一定在T,V两个集合中的一个中,不妨设1∈T,则a,b∈T,
由于a,b,1∈T,则a·b·1∈T,即ab∈T,从而T对乘法封闭;
另一方面,当T={非负整数},V={负整数}时,T关于乘法封闭,V关于乘法不封闭,故D不对;
当T={奇数},V={偶数}时,T,V显然关于乘法都是封闭的,故B,C不对.
从而本题就选A.
例4 证明:(1) ax-bx2≤1对x∈R恒成立,又b>0, ∴ a2-4b≤0,∴ 0<a≤2.
(2) 必要性,∵ x∈[0,1],|f(x)|≤1恒成立,∴ bx2-ax≤1且bx2-ax≥-1,
显然x=0时成立,
对x∈(0,1]时a≥bx-且a≤bx+,函数f(x)=bx-在x∈(0,1]上单调增,f(x)最大值f(1)=b-1.
函数g(x)=bx+在上单调减,在上单调增,函数g(x)的最小值为g=2,∴ b-1≤a≤2,故必要性成立;
充分性:f(x)=ax-bx2=-b(x-)2+,=×≤1×≤1,
f(x)max=≤1,又f(x)是开口向下的抛物线,f(0)=0,f(1)=a-b,
f(x)的最小值从f(0)=0,f(1)=a-b中取最小的,又a-b≥-1,
∴ -1≤f(x)≤1,故充分性成立;
综上命题得证.
变式训练 命题甲:方程x2+mx+1=0有两个相异负根;命题乙:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,这两个命题有且只有一个成立,求实数m的取值范围.
解: 使命题甲成立的条件是: m>2.
∴ 集合A={m|m>2}.
使命题乙成立的条件是:Δ2=16(m-2)2-16<0,∴ 1<m<3.
∴ 集合B={m|1若命题甲、乙有且只有一个成立,则有:
① m∈A∩ B,② m∈ A∩B.
若为①,则有:A∩ B={m|m>2}∩{m|m≤1或m≥3}={m|m≥3};
若为②,则有:B∩ A={m|1综合①、②可知所求m的取值范围是{m|1点评:明确命题为真时的充要条件,再分类确定.
高考回顾
1. {-1,2}
2. 若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数
3. 4 解析:A=(0,4],AB, ∴ a>4, ∴ c=4.
4. 8 解析:画韦恩图.设同时参加数学和化学小组的有x人,则20-x+11+x+4+9-x=36,x=8.
5. 3或4 解析:令f(x)=x2-4x+n,n∈N*,f(0)=n>0, ∴ f(2)≤0即n≤4,故n=1,2,3,4,经检验,n=3,4适合,或直接解出方程的根,x=2±,n∈N*,只有n=3,4适合.
6. 3 解析:正确的是①③④,在②中-3∈[2]才对.



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