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2013年高考数学二轮复习教学案:第2讲 函数、图象及性质
作者:未知 文章来源:网上收集 点击数: 更新时间:2013-8-20 13:33:32

简介
 函数、图象及性质

1. 函数在高考中的题型设置有小题也有大题,其中大题有简单的函数应用题、函数与其他知识综合题,也有复杂的代数推理题,可以说函数性质的应用是高考考查的主要着力点之一.
2. 重点:①函数的奇偶性、单调性和周期性;②函数与不等式结合;③函数与方程的综合;④函数与数列的综合;⑤函数与向量的综合;⑥利用导数来刻画函数.
3. 难点:①新定义的函数问题;②代数推理问题,常作为高考压轴题.

1. 已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)=________.
2.函数f(x)=的定义域为________.
3.函数f(x)的定义域是R,其图象关于直线x=1和点(2 , 0)都对称,f=2,则f+f=________.
4.函数f(x)=x2-2x,g(x)=mx+2,对x1∈[-1,2],x0∈[-1,2],使g(x1)=f(x0),则实数m的取值范围是________.

【例1】 已知f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(0,5) ,且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12.
(1) 求f(x)的解析式;
(2) 是否存在整数m使得方程f(x)+=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出m值;若不存在,说明理由.
【例2】  已知函数f(x)=x2+(x≠0,常数a∈R).
(1) 讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2) 若函数f(x)在x∈[2,+∞)上为增函数,求a的取值范围.
【例3】 设函数f(x)=x2+|2x-a|(x∈R,常数a为实数).
(1) 若f(x)为偶函数,求实数a的值;
(2) 设a>2,求函数f(x)的最小值.
【例4】 (2011·苏锡常镇模拟)已知函数f(x)=+a|x|,a为实数.
(1) 当a=1,x∈[-1,1]时,求函数f(x)的值域;
(2) 设m、n是两个实数,满足m<n,若函数f(x)的单调减区间为(m,n),且n-m≤,求a的取值范围.

1. (2011·辽宁)若函数f(x)=为奇函数,则a=________.
2.(2011·湖北)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex,则g(x)=________.
3.(2011·上海)设g(x)是定义在R上、以1为周期的函数,若f(x)=x+g(x)在[0,1]上的值域为[-2,5],则f(x)在区间[0,3]上的值域为____________.
4.(2011·北京)已知点A(0,2),B(2,0),若点C在函数y=x2的图象上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为________.
5.(2011·上海) 已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0.
(1) 若ab>0,判断函数f(x)的单调性;
(2) 若ab<0,求f(x+1)>f(x)时x的取值范围.
6.(2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1) 当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;
(2) 当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)

(2011·镇江一模)(本小题满分14分)已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.
(1) 如果x∈[1,4],求函数h(x)=(f(x)+1)g(x)的值域;
(2) 求函数M(x)=的最大值;
(3) 如果对不等式f(x2)f()>kg(x)中的任意x∈[1,4],不等式恒成立,求实数k的取值范围.
解:令t=log2x,(1分)
(1) h(x)=(4-2log2x)·log2x=-2(t-1)2+2,(2分)
∵ x∈[1,4],∴ t∈[0,2],(3分)
∴ h(x)的值域为[0,2].(4分)
(2) f(x)-g(x)=3(1-log2x),
当0<x≤2时,f(x)≥g(x);当x>2时,f(x)<g(x),(5分)
∴ M(x)= M(x)=(6分)
当0<x≤2时,M(x)最大值为1;(7分)
当x>2时,M(x)<1.(8分)
综上:当x=2时,M(x)取到最大值为1.(9分)
(3) 由f(x2)f()>kg(x),得(3-4log2x)(3-log2x)>k·log2x,
∵ x∈[1,4],∴ t∈[0,2],
∴ (3-4t)(3-t)>kt对一切t∈[0,2]恒成立,(10分)
①当t=0时,k∈R;(11分)
②t∈(0,2]时,k<恒成立,即k<4t+-15,(12分)
∵ 4t+≥12,当且仅当4t=,即t=时取等号.(13分)
∴ 4t+-15的最小值为-3.
综上:k<-3.(14分)
第2讲 函数、图象及性质

1. 已知a=,函数f(x)=ax,若实数m、n满足f(m)>f(n),则m、n的大小关系为________.
【答案】 m<n 解析: 考查指数函数的单调性
a=∈(0,1),函数f(x)=ax在R上递减.由f(m)>f(n)得:m2. 设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.
(1) 若f(0)≥1,求a的取值范围;
(2) 求f(x)的最小值;
(3) 设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集.
点拨: 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.
解:(1) 若f(0)≥1,则-a|a|≥1a≤-1.
∴ a的取值范围是(-∞,-1]
(2) 当x≥a时,f(x)=3x2-2ax+a2,
f(x)min==
当x≤a时,f(x)=x2+2ax-a2,f(x)min==
综上f(x)min=
(3) x∈(a,+∞)时,h(x)≥1得3x2-2ax+a2-1≥0,Δ=4a2-12(a2-1)=12-8a2.
当a≤-或a≥时,Δ≤0,x∈(a,+∞);
当-<a<时,Δ>0,得:
讨论得:当a∈时,解集为(a,+∞);
当a∈时,解集为∪
当a∈时,解集为.
综上,当a∈∪时,解集为(a,+∞),当a∈时,解集为,当a∈时,解集为∪.
基础训练
1. x2+x
2. (-∞,-1)∪(-1,0) 解析:x<0,x≠-1.
3. -4 解析:函数图象关于直线x=1对称,则f(x)=f(2-x),函数图象关于点(2 , 0)对称,则f(x)=-f(4-x),∴ f(x+2)=-f(x),∴ f(x+4)=f(x),
∴ f=f=f,又f=-f=
-f,f+f=2f=-2f=-4.
4.  解析:x∈[-1,2]时,f(x)∈[-1,3].m≥0,x∈[-1,2]时,g(x)∈[2-m,2+2m];m<0,x∈[-1,2]时,g(x)∈[2+2m,2-m].m≥0,[2-m,2+2m][-1,3];m<0,[2+2m,2-m][-1,3]得0≤m≤或-1≤m<0,故实数m的取值范围是.
例题选讲
例1 解: (1) ∵ f(x)是二次函数,且f(x)<0的解集是(0,5), ∴ 可设f(x)=ax(x-5)(a>0).
∴ f(x)在区间[-1,4]上的最大值是f(-1)=6a.
由已知得6a=12, ∴ a=2, ∴ f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R).
(2) 方程f(x)+=0等价于方程2x3-10x2+37=0.设h(x)=2x3-10x2+37,则h′(x)=6x2-20x=2x(3x-10).
当x∈时,h′(x)<0,h(x)是减函数;当x∈时,h′(x)>0,h(x)是增函数.
∵ h(3)=1>0,h=-<0,h(4)=5>0,∴ 方程h(x)=0在区间,内分别有唯一实数根,而在区间(0,3),(4,+∞)内没有实数根,所以存在唯一的自然数m=3,使得方程f(x)+=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不同的实数根.
变式训练 已知函数y=f (x)是定义在R上的周期函数,周期T=5,函数y=f(x)(-1≤x≤1)的图象关于原点对称.又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x=2时函数取得最小值-5.
(1) 证明:f(1)+f(4)=0;
(2)求y=f(x),x∈[1,4]的解析式;
(3)求y=f(x)在[4,9]上的解析式.
(1)证明: ∵ f (x)是以5为周期的周期函数,∴ f(4)=f(4-5)=f(-1),
又∵ y=f(x)(-1≤x≤1)关于原点对称,∴ f(1)=-f(-1)=-f(4),
∴ f(1)+f(4)=0.
(2)解: 当x∈[1,4]时,由题意可设f(x)=a(x-2)2-5(a>0),
由f(1)+f(4)=0得a(1-2)2-5+a(4-2)2-5=0,∴ a=2,
∴ f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4).
(3)解: ∵ y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,∴ f(0)=0,又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数,∴ 可设f(x)=kx(0≤x≤1),而f(1)=2(1-2)2-5=-3,∴ k=-3,∴ 当0≤x≤1时,f(x)=-3x,从而当-1≤x<0时,f(x)=-f(-x)=-3x,故-1≤x≤1时,f(x)=-3x,∴ 当4≤x≤6时,有-1≤x-5≤1,∴ f(x)=f(x-5)=-3(x-5)=-3x+15,
当6<x≤9时,1<x-5≤4,∴ f(x)=f(x-5)=2[(x-5)-2]2-5=2(x-7)2-5,∴ f(x)=
点评:紧抓函数几个性质,将未知的转化为已知的,注意函数图象及端点值.
例2 解: (1) 当a=0时,f(x)=x2,对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=(-x)2=x2=f(x), ∴ f(x)为偶函数.
当a≠0时,f(x)=x2+(a≠0,x≠0),
取x=±1,得f(-1)+f(1)=2≠0,f(-1)-f(1)=-2a≠0,
∴ f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1),
∴ 函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2) (解法1)设2≤x1<x2,
f(x1)-f(x2)=x+-x-=[x1x2(x1+x2)-a],
要使函数f(x)在x∈[2,+∞)上为增函数,必须f(x1)-f(x2)<0恒成立.
∵ x1-x2<0,x1x2>4,即a<x1x2(x1+x2)恒成立.
又∵ x1+x2>4, ∴ x1x2(x1+x2)>16.
∴ a的取值范围是(-∞,16].
(解法2)当a=0时,f(x)=x2,显然在[2,+∞)为增函数.
当a<0时,反比例函数在[2,+∞)为增函数,
∴ f(x)=x2+在[2,+∞)为增函数.
当a>0时,同解法1.
(解法3)f′(x)=2x-≥0,对x∈[2,+∞)恒成立.∴ a≤2x3而y≤2x3.在[2,+∞)上单调增,最小值为16,∴ a≤16.
点评:本题主要考查函数奇偶性、单调性及分类讨论处理含参数问题.
例3 解:(1) 由已知f(-x)=f(x),即|2x-a|=|2x+a|,解得a=0.
(2) f(x)=
当x≥a时,f(x)=x2+2x-a=(x+1)2-(a+1),
由a>2,x≥a,得x>1,从而x>-1,又f′(x)=2(x+1),
故f(x)在x≥a时单调递增,f(x)的最小值为f=;
当x<a时,f(x)=x2-2x+a=(x-1)2+(a-1),
故当1<x<时,f(x)单调递增,当x<1时,f(x)单调递减,
则f(x)的最小值为f(1)=a-1;
由-(a-1)=>0,知f(x)的最小值为a-1.
点评:本题考查二次函数含参数最值的讨论方法.
变式训练 已知函数f(x)=x|x-2|.设a>0,求f(x)在[0,a]上的最大值.
解: f(x)=x|x-2|=
∴ f(x)的单调递增区间是(-∞,1]和[2,+∞); 单调递减区间是[1,2].
① 当0<a≤1时,f(x)是[0,a]上的增函数,此时f(x)在[0,a]上的最大值是f(a)=a(2-a);
② 当1<a≤2时,f(x)在[0,1]上是增函数,在[1,a]上是减函数,此时f(x)在[0,a]上的最大值是f(1)=1;
③ 当a>2时,令f(a)-f(1)=a(a-2)-1=a2-2a-1>0, 解得a>1+.
若2<a≤1+,则f(a)≤f(1),f(x)在[0,a]上的最大值是f(1)=1;
若a>1+,则f(a)>f(1),f(x)在[0,a]上的最大值是f(a)=a(a-2).
综上,当0<a<1时,f(x)在[0,a]上的最大值是a(2-a);当1≤a≤1+时,f(x)在[0,a]上的最大值是1;当a>1+时,f(x)在[0,a]上的最大值是a(a-2).
例4 解: 设y=f(x),
(1) a=1时,f(x)=+|x|,
当x∈(0,1]时,f(x)=+x为增函数,y的取值范围为(1,1+].
当x∈[-1,0]时,f(x)=-x,令t=,0≤t≤1,
则x=t2-1,y=-2+,0≤t≤1,y的取值范围为.
∵ <1+,
∴x∈[1,1]时,函数f(x)的值域为[1,1+].
(2) 令t=,则x=t2-a,t≥0,y=g(t)=t+a|t2-a|.
① a=0时,f(x)=无单调减区间;
② a<0时,y=g(t)=at2+t-a2,在上g(t)是减函数,则在上f(x)是减函数.∴a<0不成立.
③ a>0时,y=g(t)=
仅当<,即a>时,
在t∈时,g(t)是减函数,即x∈时,f(x)是减函数.
∴n-m=a-≤,即(a-2)(16a2+a+2)≤0. ∴a≤2.
故a的取值范围是.
高考回顾
1.  解析:f(-x)=-f(x)恒成立或从定义域可直接得到.
2. g(x)= 解析: 因为函数f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=e-x.
又因为f(x)+g(x)=ex,所以g(x)=.
3. [-2,7] 解析:设x1∈[0,1],则f(x1)=x1+g(x1)∈[-2,5],∵ g(x)是定义域为R周期为1的函数,∴ 当x2∈[1,2]时,f(x2)=x1+1+g(x1+1)=1+x1+g(x1)=1+f(x1)∈[-1,6],当x2∈[2,3]时,f(x2)=x1+2+g(x1+2)=2+x1+g(x1)=2+f(x1)∈[0,7],∴ f(x)在区间[0,3]上的值域为[-2,7].
4. 4 解析:AB=2,直线AB的方程为x+y=2,在y=x2上取点C(x,y),点C(x,y)到直线AB的距离为,=,|x+x2-2|=2,此方程有四个解.
5. 解:(1) 当a>0,b>0时,任意x1,x2∈R,x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=a(2x1-2x2)+b(3x1-3x2),
∵ 2x1<2x2,a>0a(2x1-2x2)<0,3x1<3x2,b>0b(3x1-3x2)<0,
∴ f(x1)-f(x2)<0,函数f(x)在R上是增函数.
当a<0,b<0时,同理函数f(x)在R上是减函数.
(2) f(x+1)-f(x)=a·2x+2b·3x>0,当a<0,b>0时,x>-,则
x>log1.5;当a>0,b<0时,x<-,则x<log1.5.
6. 解:(1) 由题意:当0≤x≤20时,v(x)=60;当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b,
显然v(x)=ax+b在[20,200]是减函数,由已知得解得 故函数v(x)的表达式为v(x)=
(2) 依题意并由(1)可得f(x)=
当0≤x≤20时,f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1 200;
当20当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立.
所以,当x=100时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值.
综上,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333,
即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3 333辆/小时.



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