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2013年高考数学二轮复习教学案:第4讲 函数的实际应用
作者:未知 文章来源:网上收集 点击数: 更新时间:2013-8-20 13:34:53

简介
 函数的实际应用

1. 零点问题,在掌握二分法的解题步骤基础上,学会分析转化,能够把与之有关的问题化归为方程零点问题.
2. 函数模型的实际应用问题,主要抓住常见函数模型的训练,如幂指对模型,二次函数模型,数列模型,分段函数模型等,解答的重点是在信息整理和建模上.
3. 掌握解函数应用题的方法与步骤:(1) 正确地将实际问题转化为函数模型(建模);(2) 用相关的函数知识进行合理的设计,确定最佳的解题方案,进行计算与推理(解模);(3) 把计算或推理得到的结果代回到实际问题中去解释实际问题,即对实际问题进行总结作答(检验、作答).

1. 函数f(x)=ex+x-2的零点为x0,则不小于x0的最小整数为________.
2.关于x的方程x=有负实根,则实数a的取值范围是________.
3.某工厂的产值月平均增长率为p,则年平均增长率为________.
4.某人在2009年初贷款 m万元,年利率为x,从次年初开始偿还,每年偿还的金额都是n万元,到2012年初恰好还清,则n的值是________.

【例1】 已知直线y=mx(m∈R)与函数f(x)=的图象恰有3个不同的公共点,求实数m的取值范围.
【例2】 某村计划建造一个室内面积为 800 m2的矩形蔬菜温室.在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留3 m宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?
【例3】  2014年青奥会水上运动项目将在J地举行.截至2010年底,投资集团B在J地共投资100百万元用于房地产和水上运动两个项目的开发.经调研,从2011年初到2014年底的四年间,B集团预期可从三个方面获得利润:一是房地产项目,四年获得的利润的值为该项目投资额(单位:百万元)的20;二是水上运动项目,四年获得的利润的值为该项目投资额(单位:百万元)的算术平方根;三是旅游业,四年可获得利润10百万元.
(1) B集团的投资应如何分配,才能使这四年总的预期利润最大?
(2) 假设从2012年起,J地政府每年都要向B集团征收资源占用费,2012年征收2百万元,以后每年征收的金额比上一年增加10.若B集团投资成功的标准是:从2011年初到2014年底,这四年总的预期利润中值(预期最大利润与最小利润的平均数)不低于总投资额的18,问B集团投资是否成功?
【例4】  已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m.
(1) 求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);
(2) 是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.

1. (2010·浙江)已知x0是函数f(x)=2x+ 的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则f(x1)f(x2)________0.(填“>”或“<”).
2.(2011·北京)根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品时用时15分钟,那么c和A的值分别是________.
3.(2010·浙江)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x,八月份销售额比七月份递增x,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等,若一月至十月份销售总额至少达7 000万元,则x 的最小值为________.
4.(2011·重庆)设m,k为整数,方程mx2-kx+2=0在区间(0,1)内有两个不同的实根,则m+k的最小值为________.
5.(2011·山东)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.
(1) 写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;
(2) 求该容器的建造费用最小时的r.

6.(2011·福建)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3(1) 求a的值;
(2) 若该商品的成本为3元/千克, 试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

(2011·湖南)(本小题满分12分)如图,长方形物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动,速度为v(v>0),雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R).E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:(1) P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S成正比,比例系数为;(2) 其他面的淋雨量之和,其值为,记y为E移动过程中的总淋雨量,当移动距离d=100,面积S=时.
(1) 写出y的表达式;
(2) 设0<v≤10,0<c≤5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y最少.
解析:(1) 由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为|v-c|+,(2分)
故y==(3|v-c|+10). (6分)

(2) 由(1)知,当0当c故y=( 8分)
① 当0② 当第4讲 函数的实际应用

1. 下列命题正确的是________(填所有正确命题的序号).
① 若f(-x)=-f(2+x),则f(x)的图象关于点(1,0)对称;
② 若f(-x)=f(2+x),则f(x)的图象关于直线x=1对称;
③ 若y=f(x+1)是奇函数,则y=f(x)关于点(1,0)对称;
④ 若y=f(x+1)是偶函数,则y=f(x)关于直线x=1对称.
【答案】 ①②③④
2. 已知二次函数y=g(x)的导函数的图象与直线y=2x平行,且y=g(x)在x=-1处取得最小值m-1(m≠0).设函数f(x)=.
(1) 若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值;
(2) k(k∈R)取何值时,函数y=f(x)-kx存在零点,并求出零点.
解: (1) 设g(x)=ax2+bx+c,a≠0则g′(x)=2ax+b;
又g′(x)的图象与直线y=2x平行,∴ 2a=2,∴ a=1.
又g(x)在x=-1时取最小值,∴ -=-1,∴ b=2.
∴ g(-1)=a-b+c=1-2+c=m-1,∴ c=m.
∴ f(x)==x++2.设P(x0,y0),
则|PQ|2=x+(y0-2)2=x+2=2x++2m≥2+2m.
∴ 2+2m=2,∴ m=-1或m=--1.
(2) 由y=f(x)-kx=(1-k)x++2=0,
得(1-k)x2+2x+m=0.    (*)
当k=1时,方程(*)有一解x=-,函数y=f(x)-kx有一零点x=-;
当k≠1时,方程(*)有两解Δ=4-4m(1-k)>0.
若m>0,k>1-,函数y=f(x)-kx有两个零点x==;若m<0,k<1-,函数y=f(x)-kx有两个零点x==;
当k≠1时,方程(*)有一解Δ=4-4m(1-k)=0,k=1-, 函数y=f(x)-kx有一零点x=.
基础训练
1. 1 解析:f(0)<0,f(1)>0,x0∈(0,1).
2.  解析:由>1,得<a<5.
3. (1+p)12-1
4.  解析:m(1+x)3=n(1+x)2+n(1+x)+n.n=.
例题选讲
例1 解:作出函数f(x)的图象,可见要使直线y=mx(m∈R)与函数f(x)的图象恰有三个不同的公共点,只要y=x2+1(x>0)与直线y=mx(m∈R)有两个交点,即x2+1=mx有两个不等的正根,x2-2mx+2=0有两个不等的正根,∴ 解得m>.
变式训练 (2011·北京)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是________.
【答案】 (0,1) 解析:f(x)=(x≥2)单调递减且值域为(0,1],f(x)=(x-1)3(x<2)单调递增且值域为(-∞,1),f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是(0,1).
例2 解:设温室的长为x m,则宽为 m.由已知得蔬菜的种植面积为S m2:
S=(x-2)=800-4x-+8
=808-4≤648(当且仅当x=即x=20时,取“=”).
答:当矩形温室的边长分别为20 m,40 m时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是648 m2.
变式训练 某学校拟建一块周长为400 m的操场如图所示,操场的两头是半圆形,中间区域是矩形,学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可能大,试问如何设计矩形的长和宽?

解:设中间区域矩形的长、宽分别为x m、y m,中间的矩形区域面积为S m2.
则半圆的周长为 m,因为操场周长为400 m,所以2x+2×=400,即2x+πy=400.
∴ S=xy=·(2x)·(πy)≤·2=,
由解得当时等号成立.
答:设计矩形的长为100 m,宽约为(≈63.7)m时,面积最大.
例3 解:(1) 设B集团用于水上运动项目的投资为x百万元,四年的总利润为y百万元,由题意,y=0.2(100-x)++10=-0.2x++30,x∈[0,100].
即y=-0.2(-2.5)2+31.25,∈[0,10].
所以当=2.5,即x=6.25时,ymax=31.25.
答:B集团在水上运动项目投资6.25百万元,所获得的利润最大,为31.25百万元.
(2) 由(1)知,在上缴资源占用费前,ymax=31.25,ymin=20.
由题意,从2012年到2014年,B集团需上缴J地政府资源占用费共为
2(1+1.11+1.12)=6.62百万元.
所以B集团这四年的预期利润中值为-6.62=19.005.
由于=19.005>18,所以B集团投资能成功.
答:B集团在J地投资能成功.
注:若水上运动项目的利润改为该项目投资额的算术平方根的k(k>0)倍,如何讨论?
例4 解:(1) f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16.
当t+1<4,即t<3时,f(x)在[t,t+1]上单调递增.
h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7;
当t≤4≤t+1,即3≤t≤4时,h(t)=f(4)=16;
当t>4时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,h(t)=f(t)=-t2+8t.
综上,h(t)=
(2) 函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,即函数φ(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.
∵ φ(x)=x2-8x+6lnx+m,
∴ φ′(x)=2x-8+==(x>0),
当x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数;当x∈(1,3)时,φ′(x)<0,φ(x)是减函数;当x∈(3,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数;当x=1或x=3时,φ′(x)=0.
∴ φ(x)极大值=φ(1)=m-7,φ(x)极小值=φ(3)=m+6ln3-15.
∵ 当x充分接近0时,φ(x)<0,当x充分大时,φ(x)>0.
∴ 要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须
即7<m<15-6ln3.
所以存在实数m,使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,m的取值范围为(7,15-6ln3).
高考回顾
1. < 解析:f(x)在(1,+∞)单调递增,f(x0)=0,f(x1)<0,f(x2)>0.
2. 60,16 解析:由条件可知,x≥A时所用时间为常数,所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数,即f(4)==30c=60,f(A)==15A=16.
3. 20 解析:3 860+500+2[500(1+x)+500(1+x)2]≥7 000,x≥20.
4. 13 解析: 设f(x)=mx2-kx+2,则方程mx2-kx+2=0在区间(0,1)内有两个不同的根等价于因为f(0)=2,所以f(1)=m-k+2>0,故抛物线开口向上,于是m>0,0<k<2m,令m=1,则由k2-8m>0,得k≥3,则m>≥,所以m至少为2,但k2-8m>0,故k至少为5,又m>≥,所以m至少为3,又由m>k-2=5-2,所以m至少为4,…,依次类推,发现当m=6,k=7时,m,k首次满足所有条件,故m+k的最小值为13.
5. 解:(1) 因为容器的体积为π立方米,所以πr3+πr2l=π,
解得l=-r=,
由于l≥2r,因此0所以建造费用y=2πrl×3+4πr2c=2πr××3+4πr2c,
因此y=-8r2+4πcr2,定义域为(0,2].
(2) y′=--16r+8πcr=,
由于c>3,所以c-2>0,当r3=时r=,
令=m,则m>0,
所以y′=(r-m)(r2+mr+m2).
①当0时,
当r=m时,y′=0;
当r∈(0,m)时,y′<0;
当r∈(m,2)时,y′>0,
所以r=m是函数y的极小值点,也是最小值点,
②当m≥2,即3当r∈(0,2)时,y′<0,函数单调递减,
所以r=2是函数y的最小值点.
综上,当3当c>时,建造费用最小时r=.
6. 解:(1) 因为x=5时y=11,所以+10=11a=2.
(2) 由(1)知该商品每日的销售量为y=+10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润:
f(x)=(x-3)=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6;
f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6),令f′(x)=0得x=4.
函数f(x)在(3,4)上递增,在(4,6)上递减,所以当x=4时函数f(x)取得最大值f(4)=42.
答:当销售价格x=4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大值为42元.



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