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2013年陕西省高考理科数学试卷及答案(word版)
作者:未知 文章来源:网上收集 点击数: 更新时间:2013-7-21 16:41:07

简介
2013年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
第一部分(共50分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1. 设全集为R, 函数的定义域为M, 则为
(A) [-1,1](B) (-1,1) (C) (D) 
2. 根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为

(A) 25 (B) 30(C) 31(D) 61
3. 设a, b为向量, 则“”是“a//b”的
(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件
4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为
(A) 11(B) 12(C) 13(D) 14
5. 如上图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是
(A)(B) (C)  (D) 
6. 设z1, z2是复数, 则下列命题中的假命题是
(A) 若, 则(B) 若, 则
(C) 若, 则(D) 若, 则
7. 设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为
(A) 锐角三角形(B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定
8. 设函数 , 则当x>0时, 表达式的展开式中常数项为
(A) -20(B) 20(C) -15(D) 15
9. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是


(A) [15,20](B) [12,25] (C) [10,30](D) [20,30]
10. 设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有
(A) [-x]=-[x](B) [2x]=2[x](C) [x+y]≤[x]+[y](D) [x-y]≤[x]-[y]
二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11. 双曲线的离心率为, 则m等于 .
12. 某几何体的三视图如上图所示, 则其体积为 .
13. 若点(x, y)位于曲线与y=2所围成的封闭区域, 则2x-y的最小值为 .
14. 观察下列等式:



…
照此规律, 第n个等式可为  .
15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)
A. (不等式选做题) 已知a, b, m, n均为正数, 且a+b=1, mn=2, 则(am+bn)(bm+an)的最小值为 .
B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB与CD相交于内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD=2DA=2, 则PE= .

C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角为参数, 则圆的参数方程为 .
三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤(本大题共6小题,共75分)
16. (本小题满分12分)已知向量, 设函数.
(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.
(Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值.
17. (本小题满分12分)
设是公比为q的等比数列.
(Ⅰ) 导的前n项和公式; (Ⅱ) 设q≠1, 证明数列不是等比数列.
18. (本小题满分12分)
如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, .
(Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D;
(Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小.
19. (本小题满分12分)
在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.
(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.
20. (本小题满分13分)
已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线过定点.
21. (本小题满分14分)已知函数.
(Ⅰ) 若直线y=kx+1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值;
(Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y=f (x) 与曲线 公共点的个数.
(Ⅲ) 设a参考答案
一、选择题
1.D 2.C 3.C 4.B 5.A 6.D 7.B 8.A 9.C 10.D
二、填空题
11.9 12. 13.- 4 14.
15.(1)2 (2) (3)
三、解答题
16.解:(Ⅰ) =。
最小正周期,所以最小正周期为。
(Ⅱ) .
.
所以,f (x) 在上的最大值和最小值分别为.
17.解:(Ⅰ) 分两种情况讨论。
①
②.
上面两式错位相减: 
。
③综上,
(Ⅱ) 使用反证法。
设是公比q≠1的等比数列, 假设数列是等比数列.则
①当=0成立,则不是等比数列。
②当成立,则
。这与题目条件q≠1矛盾。
③综上两种情况,假设数列是等比数列均不成立,所以当q≠1时, 数列不是等比数列。
18.解:(Ⅰ) ;又因为,在正方形AB CD中,。
在正方形AB CD中,AO = 1 . 
.
.(证毕)
(Ⅱ) 建立直角坐标系统,使用向量解题。
以O为原点,以OC为X轴正方向,以OB为Y轴正方向。则
.
由(Ⅰ)知, 平面BB1D1D的一个法向量
设平面OCB1的法向量为
。
所以,平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为
19.解:(Ⅰ) 设事件A 表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手。
观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙未选中3号歌手的概率为。
所以P(A) = .
因此,观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为
(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则X可取0,1,2,3.
观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙选中3号歌手的概率为。
当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时,这时X=0,P(X = 0) = .
当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时,这时X=1,P(X = 1) = .
当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时,这时X=2,P(X = 2) = .
当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时,这时X=3,P(X =3) = .
X的分布列如下表:
X
0
1
2
3

P






所以,数学期望
20.解:(Ⅰ) A(4,0),设圆心C
(Ⅱ) 点B(-1,0), .
直线PQ方程为:

所以,直线PQ过定点(1,0)
21.解:(Ⅰ) f (x)的反函数. 设直线y=kx+1与相切与点 。所以
(Ⅱ) 当 x > 0,m > 0 时, 曲线y=f (x) 与曲线 的公共点个数即方程 根的个数。
由,
则 h(x)在
h(x). 
所以对曲线y=f (x) 与曲线 公共点的个数,讨论如下:
当m 时,有0个公共点;当m= ,有1个公共点;当m 有2个公共点;
(Ⅲ) 设

令。
,且
。


所以


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