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2013年浙江省高考理科数学试卷及答案(word解析版)
作者:未知 文章来源:网上收集 点击数: 更新时间:2013-7-21 16:34:33

简介
浙江卷数学(理)试题答案与解析
选择题部分(共50分)
一、选择题:每小题5分,共50分.
1.已知i是虚数单位,则(?1 i)(2?i)=
A.?3 iB.?1 3i C.?3 3i D.?1 i
【命题意图】本题考查复数的四则运算,属于容易题
【答案解析】B
2.设集合S={x|x>?2},T={x|x2 3x?4≤0},则((RS)∪T=
A.(?2,1]B.(?∞,?4]C.(?∞,1]D.[1, ∞)
【命题意图】本题考查集合的运算,属于容易题
【答案解析】C 因为((RS)={x|x≤?2},T={x|?4≤x≤1},所以((RS)∪T=(?∞,1].
3.已知x,y为正实数,则
A.2lgx lgy=2lgx 2lgyB.2lg(x y)=2lgx ? 2lgy
C.2lgx ? lgy=2lgx 2lgy D.2lg(xy)=2lgx ? 2lgy
【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质,属于容易题
【答案解析】D 由指数和对数的运算法则,易知选项D正确
4.已知函数f(x)=Acos(ωx φ)(A>0,ω>0,φ(R),则“f(x)是奇函数”是“φ=”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性,属于中档题
【答案解析】B 由f(x)是奇函数可知f(0)=0,即cosφ=0,解出φ= kπ,k(Z,所以选项B正确
5.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则
A.a=4B.a=5
C.a=6D.a=7
【命题意图】本题考查算法程序框图,属于容易题
【答案解析】A
6.已知α(R,sin α 2cos α=,则tan2α=
A.B.
C.?D.?
【命题意图】本题考查三角公式的应用,解法多样,属于中档题
【答案解析】C 由(sin α 2cos α)2=可得=,进一步整理可得3tan2α?8tan α?3=0,解得tan α=3或tan α=?,于是tan2α==?.
7.设△ABC,P0是边AB上一定点,满足P0B=AB,且对于AB上任一点P,恒有?≥?,则
A.(ABC=90(B.(BAC=90(C.AB=ACD.AC=BC
【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义,不等式恒成立的有关知识,属于中档题
【答案解析】D 由题意,设||=4,则||=1,过点C作AB的垂线,垂足为H,在AB上任取一点P,设HP0=a,则由数量积的几何意义可得,?=||||=( ?(a 1))||,?=?||||=?a,于是?≥?恒成立,相当于(?(a 1))||≥?a恒成立,整理得||2?(a 1)|| a≥0恒成立,只需?=(a 1)2?4a=(a?1)2≤0即可,于是a=1,因此我们得到HB=2,即H是AB的中点,故△ABC是等腰三角形,所以AC=BC
8.已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex?1)(x?1)k(k=1,2),则
A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值
B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值
C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值
D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值
【命题意图】本题考查极值的概念,属于中档题
【答案解析】C 当k=1时,方程f(x)=0有两个解,x1=0,x2=1,由标根法可得f(x)的大致图象,于是选项A,B错误;当k=2时,方程f(x)=0有三个解,x1=0,x2=x3=1,其中1是二重根,由标根法可得f(x)的大致图象,易知选项C正确。
9.如图,F1,F2是椭圆C1:与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率为
A.B.
C. D.
【命题意图】本题考查椭圆和双曲线的定义和几何性质,属于中档题
【答案解析】D 由题意,c=,|AF2| |AF1|=4……①,|AF2|?|AF1|=2a……②,① ②得|AF2|=2 a,①?②得|AF1|=2?a,又|AF1|2 |AF2|2=| F1F2|2,所以a=,于是e==.
10.在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B=fπ(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有 PQ1= PQ2,则
A.平面α与平面β垂直B.平面α与平面β所成的(锐)二面角为45(
C.平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为60(
【命题意图】本题考查新定义问题的解决,重在知识的迁移,属于较难题
【答案解析】A 用特殊法立即可知选项A正确
非选择题部分(共100分)
二、填空题:每小题4分,共28分.
11.设二项式的展开式中常数项为A,则A= .
【命题意图】考查二项式定理,属于容易题
【答案解析】?10
12.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的
体积等于 cm3.
【命题意图】本题考查三视图和体积计算,属于容易题
【答案解析】24 由题意,该几何体为一个直三棱柱截去一个
三棱锥所得
13.设z=kx y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则实数k= .
【命题意图】本题考查线性规划,属于容易题
【答案解析】2 作出平面区域即可
14.将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法有 种(用数字作答).
【命题意图】本题考查排列组合,属于中档题
【答案解析】480 第一类,字母C排在左边第一个位置,有A种;第二类,字母C排在左边第二个位置,有AA种;第三类,字母C排在左边第三个位置,有AA AA种,由对称性可知共有2(( A AA AA AA)=480种。
15.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F(?1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点.若|FQ|=2,则直线l的斜率等于 .
【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系,属于中档题
【答案解析】±1 设直线l的方程为y=k(x 1),联立消去y得k2x2 (2k2?4)x k2=0,由韦达定理,xA xB =?,于是xQ==,把xQ带入y=k(x 1),得到yQ=,根据|FQ|=,解出k=±1.
16.在△ABC,(C=90(,M是BC的中点.若sin(BAM=,则sin(BAC= .
【命题意图】本题考查解三角形,属于中档题
【答案解析】 设BC=2a,AC=b,则AM=,AB=,sin(ABM= sin(ABC==,在△ABM中,由正弦定理=,即=,解得2a2=b2,于是sin(BAC===.
17.设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1 ye2,x,y(R.若e1,e2的夹角为,则的最大值等于 .
【命题意图】本题以向量为依托考查最值问题,属于较难题
【答案解析】2 =====,所以的最大值为2
三、解答题:本大题共5小题,共72分.
18.(本小题满分14分)在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2 2,5a3成等比数列
(Ⅰ)求d,an;
(Ⅱ)若d<0,求|a1| |a2| |a3| … |an|.
【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的概念,等差数列通项公式、求和公式等基础知识,同时考查运算求解能力。
【答案解析】
(Ⅰ)由题意
5a3( a1=(2a2 2)2,

d2?3d?4=0.

d=?1或d=4.
所以
an=?n 11,n(N*或an=4n 6,n(N*
(Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0,由(Ⅰ)得d=?1,an=?n 11.则
当n(11时,
|a1| |a2| |a3| … |an|=Sn=?n2 n
当n(12时,
|a1| |a2| |a3| … |an|=?Sn 2S11=n2?n 110
综上所述,
|a1| |a2| |a3| … |an|=
19.(本题满分14分)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.
(Ⅰ)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;
(Ⅱ)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若 Eη=,Dη=,求a∶b∶c.
【命题意图】本题考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、数学方差等概念,同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。
【答案解析】
(Ⅰ)由题意得
ξ=2,3,4,5,6

P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,
P(ξ=4)==,
P(ξ=5)==,
P(ξ=6)==,
所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
5
6

P






(Ⅱ)由题意知η的分布列为
η
1
2
3

P




 所以
Eη=  =
Dη=( ( (=
化简得

解得a=3c,b=2c,故
a∶b∶c=3∶2∶1
20.(本题满分15分)如图,在四面体A?BCD中,AD(平面BCD,BC(CD,AD=2,BD=2.M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.
(Ⅰ)证明:PQ∥平面BCD;
(Ⅱ)若二面角C?BM?D的大小为60(,求(BDC的大小.
【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同时考查空间想象能力和运算求解能力。
【答案解析】
(Ⅰ)取BD的中点O,在线段CD上取点F,使得DF=3FC,连接OP,OF,FQ.
因为AQ=3QC,所以
QF∥AD,且QF=AD
因为O,P分别为BD,BM的中点,所以OP是△BDM的中位线,所以
OP∥DM,且OP=DM
又点M是AD的中点,所以
OP∥AD,且OP=AD
从而
OP∥FQ,且OP=FQ
所以四边形OPQF是平行四边形,故
PQ∥OF
又PQ(平面BCD,OF(平面BCD,所以
PQ∥平面BCD.
(Ⅱ)作CG(BD于点G,作GH(BM于点HG,连接CH,则CH(BM,所以(CHG为二面角的平面角。设(BDC=θ.
在Rt△BCD中,
CD=BDcos θ=2cos θ,
CG=CDsin θ=2cos θsin θ,
BG=BCsin θ=2sin2θ
在Rt△BDM中,
HG==
在Rt△CHG中,
tan(CHG=
所以
tan (=
从而
(=60(
即(BDC=60(.
21.(本题满分15分)如图,点P(0,?1)是椭圆C1:(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2 y2=4的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D.
(Ⅰ)求椭圆C1的方程;
(Ⅱ)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.
【命题意图】本题考查椭圆的几何性质,直线与圆的位置关系,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力
【答案解析】
(Ⅰ)由题意得

所以椭圆C的方程为
.
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为
y=kx?1.
又圆C2:x2 y2=4,故点O到直线l1的距离
d=,
所以
|AB|=2=2.
又l1(l2,故直线l2的方程为
x ky k=0.


  消去y,整理得
(4 k2)x2 8kx=0

x0=?.
所以
|PD|=.
设△ABD的面积为S,则
S=|AB|(|PD|=,
所以
S=(=,
当且仅当k=±时取等号
所以所求直线l1的方程为
y=±x?1
22.(本题满分14分)已知a(R,函数f(x)=x3?3x2 3ax?3a 3
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)当x([0,2]时,求|f(x)|的最大值.
【命题意图】本题考查导数的几何意义,导数应用等基础知识,同时考查推理论证能力,分类讨论等分析问题和解决问题的能力
【答案解析】
(Ⅰ)由题意f ((x)=3x2?6x 3a,故f ((1)=3a?3.又f(1)=1,所以所求的切线方程为
y=(3a?3)x?3a 4
(Ⅱ)由于f ((x)=3(x?1)2 3(a?1),0x(2.故
(ⅰ)当a(0时,有f ((x) (0,此时f(x)在[0,2]上单调递减,故
|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3?3a
(ⅱ)当a(1时,有f ((x) (0,此时f(x)在[0,2]上单调递增,故
|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}= 3a?1
(ⅲ)当00< x1< x2<2,f ((x)=3(x? x1)(x? x2)
列表如下:
x
0
(0,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2,2)
2

f ((x)


0
?
0



f (x)
3?3a
单调递增
极大值f (x1)
单调递减
极小值f (x2)
单调递增
3a?1

由于
f(x1)=1 2(1?a),f(x2)=1?2(1?a),

f(x1) f(x2)=2>0,f(x1)(f(x2)=4(1?a)>0
从而
f(x1)>| f(x2)|.
所以
|f(x)|max=max{f(0),|f(2)|,f(x1)}
(1)当0|f(2)|.

f(x1)? f(0)=2(1?a)?(2?3a)=>0

|f(x)|max= f(x1)=1 2(1?a).
(2)当(a<1时,|f(2)|=f(2),且f(2)(f(0).

f(x1)? |f(2)|=2(1?a)?( 3a ?2)=
所以
①当(a<时,f(x1)> |f(2)|.故
|f(x)|max= f(x1)=1 2(1?a).
②当(a<1时,f(x1) ( |f(2)|.故
|f(x)|max=| f(2)|= 3a?1.
综上所述,
|f(x)|max=


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