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2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编7:立体几何
作者:未知 文章来源:网上收集 点击数: 更新时间:2013-7-21 17:14:53

简介
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编7:立体几何

一、选择题
1 .(2013年高考重庆卷(文))某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为
(  )
A.B.C.D.
【答案】D
2 .(2013年高考课标Ⅱ卷(文))一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是,画该四面体三视图中的正视图时,以平面为投影面,则得到正视图可以为
(  )
A.B.C.D.
【答案】A
3 .(2013年高考课标Ⅰ卷(文))某几何函数的三视图如图所示,
则该几何的体积为(  )

A.B. C. D.
【答案】A
4 .(2013年高考大纲卷(文))已知正四棱锥

的正弦值等于(  )
A.B.C.D.
【答案】A
5 .(2013年高考四川卷(文))一个几何体的三视图如图所示,
则该几何体可以是(  )
A.棱柱B.棱台C.圆柱D.圆台
【答案】D
6 .(2013年高考浙江卷(文))已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,
则该几何体的体积是(  )
A.108cm3B.100 cm3C.92cm3D.84cm3
【答案】B
7 .(2013年高考北京卷(文))如图,在正方体中,为
对角线的三等分点,则到各顶点的距离的不同取值有 (  )
A.3个B.4个C.5个D.6个
【答案】B
8 .(2013年高考广东卷(文))某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥
的体积是(  )

A.B.C.D.
【答案】B
9 .(2013年高考湖南(文))已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1
的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于(  )
A.B.1C.D.
【答案】D
10.(2013年高考浙江卷(文))设m.n是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面,(  )
A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,m∥β,则α∥β
C.若m∥n,m⊥α,则n⊥αD.若m∥α,α⊥β,则m⊥β
【答案】C
11.(2013年高考辽宁卷(文))已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,,则球的半径为(  )
A.B.C.D.
【答案】C
12.(2013年高考广东卷(文))设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是(  )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,则
【答案】B
13.(2013年高考山东卷(文))一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)
视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是(  )
A.B.C.D.8,8
【答案】B
14.(2013年高考江西卷(文))一几何体的三视图如右所示,则该几何体
的体积为(  )
A.200 9πB.200 18πC.140 9πD.140 18π
【答案】A
二、填空题
15.(2013年高考课标Ⅱ卷(文))已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面
边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为________.
【答案】
16.(2013年高考湖北卷(文))我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量是__________寸.
(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)
【答案】3
17.(2013年高考课标Ⅰ卷(文))已知是球的直径上一点,,平面,为垂足,截球所得截面的面积为,则球的表面积为_______.
【答案】;
18.(2013年高考北京卷(文))某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为__________.

【答案】3
19.(2013年高考陕西卷(文))某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为________.
【答案】
20.(2013年高考大纲卷(文))已知圆和圆是球的大圆和小圆,其公共弦长等于球的半径,则球的表面积等于______.
【答案】
21.(2013年上海高考数学试题(文科))已知圆柱的母线长为,底面半径为,是上地面圆心,、是下底面圆周上两个不同的点,是母线,如图.若直线与所成角的大小为,则________.
【答案】
22.(2013年高考天津卷(文))已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为 ______.
【答案】
23.(2013年高考辽宁卷(文))某几何体的三视图如图所示,则该
几何体的体积是____________.
【答案】
24.(2013年高考江西卷(文))如图,正方体的底面与正四面体的底面在同
一平面α上,且AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_____________.
【答案】4
25.(2013年高考安徽(文))如图,正方体
的棱长为1,为的中点,
为线段上的动点,过点的平
面截该正方体所得的截面记为,则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号).
当时,为四边形;②当时,为等腰梯形;
③当时,与的交点满足;
④当时,为六边形;⑤当时,的面积为.
【答案】①②③⑤
三、解答题
26.(2013年高考辽宁卷(文))如图,
(I)求证:
(II)设
【答案】


27.(2013年高考浙江卷(文))如图,在在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.
(Ⅰ)证明:BD⊥面PAC ;
(Ⅱ)若G是PC的中点,求DG与APC所成的角的正切值;
(Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,求 的值.

【答案】解:证明:(Ⅰ)由已知得三角形是等腰三角形,且底角等于30°,且,所以;、,又因为;
(Ⅱ)设,由(1)知,连接,所以与面所成的角是,由已知及(1)知:, ,所以与面所成的角的正切值是;
(Ⅲ)由已知得到:,因为,在中,,设

28.(2013年高考陕西卷(文))如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, .
(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;
(Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.
【答案】解: (Ⅰ) 设.
.

.(证毕)
(Ⅱ) .
在正方形AB CD中,AO = 1 . 
.
所以,.
29.(2013年高考福建卷(文))如图,在四棱锥中,, ,,
,,,.
(1)当正视图方向与向量的方向相同时,画出四棱锥的正视图.
(要求标出尺寸,并画出演算过程);
(2)若为的中点,求证:;
(3)求三棱锥的体积.
【答案】解法一:(Ⅰ)在梯形中,过点作,垂足为, 由已知得,四边形为矩形, ,在中,由,,依勾股定理得:
,从而 ,又由平面得,
从而在中,由,,得
正视图如右图所示:
(Ⅱ)取中点,连结, ,在中,是中点,
∴,,又,
∴,, ∴四边形为平行四边形,∴
又平面,平面, ∴平面
(Ⅲ),
又,,所以
解法二:
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)取的中点,连结,
在梯形中,,且 ,∴四边形为平行四边形
∴,又平面,平面
∴平面,又在中,
平面,平面
∴平面.又,
∴平面平面,又平面
∴平面
(Ⅲ)同解法一
30.(2013年高考广东卷(文))如图4,在边长为1的等边三角形中,分别是边上的点,,是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图5所示的三棱锥,其中.
(1) 证明://平面;
(2) 证明:平面;
(3) 当时,求三棱锥的体积.
【答案】(1)在等边三角形中,
,在折叠后的三棱锥中
也成立, ,平面,
平面,平面;
(2)在等边三角形中,是的中点,所以①,
.
 在三棱锥中,,②
;
(3)由(1)可知,结合(2)可得.

31.(2013年高考湖南(文))如图2.在直菱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=,AA1=3,D是BC的中点,点E在菱BB1上运动.
(I)证明:AD⊥C1E;
(II)当异面直线AC,C1E 所成的角为60°时,求三菱子C1-A2B1E的体积.
【答案】解: (Ⅰ) .

.
(证毕)
(Ⅱ).
.
32.(2013年高考北京卷(文))如图,在四棱锥中,,,,平面底面,,和分别是和的中点,求证:
(1)底面;(2)平面;(3)平面平面
【答案】(I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这个平面的交线AD
所以PA垂直底面ABCD.
(II)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点
所以AB∥DE,且AB=DE
所以ABED为平行四边形,
所以BE∥AD,又因为BE平面PAD,AD平面PAD
所以BE∥平面PAD.
(III)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形
所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD,
所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD
所以CD⊥PD,因为E和F分别是CD和PC的中点
所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.
33.(2013年高考课标Ⅰ卷(文))如图,三棱柱中,,
,.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若,,求三棱柱的体积.
【答案】【答案】(I)取AB的中点O,连接、、,
因为CA=CB,所以,由于AB=A A1,∠BA A1=600,故为等边三角形,所以OA⊥AB.
因为OC?OA=O,所以AB平面OAC.又ACC平面OAC,故ABAC.
(II)由题设知



34.(2013年高考山东卷(文))如图,四棱锥中,, ,
分别为的中点
(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求证:
【答案】




35.(2013年高考四川卷(文))
如图,在三棱柱中,侧棱底面,,,
分别是线段的中点,是线段上异于端点的点.
(Ⅰ)在平面内,试作出过点与平面平行的直线,说明理由,并证明直线平面;
(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线交于点,求三棱锥的体积.
(锥体体积公式:,其中为底面面积,为高)
【答案】解:(Ⅰ)如图,在平面ABC内,过点作直线,因为在
平面外,BC在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知,平面.
由已知,,是BC中点,所以BC⊥AD,则直线,
又因为底面,所以,
又因为AD,在平面内,且AD与相交,
所以直线平面
(Ⅱ)过D作于E,因为平面,所以,
又因为AC,在平面内,且AC与相交,所以平面,
由,∠BAC,有,∠DAC,
所以在△ACD中,,
又,所以
因此三棱锥的体积为
36.(2013年高考湖北卷(文))如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为,,且. 过,的中点,且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面,其面积记为.
(Ⅰ)证明:中截面是梯形;
(Ⅱ)在△ABC中,记,BC边上的高为,面积为. 在估测三角形区域内正下方的矿藏储量(即多面体的体积)时,可用近似公式来估算. 已知,试判断与V的大小关系,并加以证明. 
【答案】(Ⅰ)依题意平面,平面,平面,
所以A1A2∥B1B2∥C1C2. 又,,,且 .
因此四边形、均是梯形.
由∥平面,平面,且平面平面,
可得AA2∥ME,即A1A2∥DE. 同理可证A1A2∥FG,所以DE∥FG.
又、分别为、的中点,
则、、、分别为、、、 的中点,
即、分别为梯形、的中位线.
因此 ,,
而,故,所以中截面是梯形.
(Ⅱ). 证明如下:
由平面,平面,可得.
而EM∥A1A2,所以,同理可得.
由是△的中位线,可得即为梯形的高,
因此,
即.
又,所以.
于是.
由,得,,故.
37.(2013年高考课标Ⅱ卷(文))如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E
分别是AB,BB1的中点.
(1)证明: BC1//平面A1CD;
(2)设AA1= AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C一A1DE的体积.
【答案】

38.(2013年高考大纲卷(文))如图,四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=900,BC=2AD,△PAB与△PAD
都是边长为2的等边三角形.
(I)证明:PB⊥CD; (II)求点A到平面PCD的距离.
【答案】(Ⅰ)证明:取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形.
过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O.
连结OA,OB,OD,OE.
由和都是等边三角形知PA=PB=PD,
所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点,
故,从而.
因为O是BD的中点,E是BC的中点,
所以OE//CD.因此,.
(Ⅱ)解:取PD的中点F,连结OF,则OF//PB.
由(Ⅰ)知,,故.
又,,
故为等腰三角形,因此,.
又,所以平面PCD.
因为AE//CD,平面PCD,平面PCD,所以AE//平面PCD.
因此,O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离,而,
所以A至平面PCD的距离为1.
39.(2013年高考安徽(文))如图,四棱锥的底面是
边长为2的菱形,.已知 .
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)若为的中点,求三菱锥的体积.
【答案】解:
(1)证明:连接交于点
 
又是菱形 
而 ⊥面 ⊥
(2) 由(1)⊥面
=

40.(2013年上海高考数学试题(文科))如图,正三棱锥
底面边长为,高为,求该三棱锥的体积及表面积.
【答案】


41.(2013年高考天津卷(文))
如图, 三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A1C1的中点.
(Ⅰ) 证明EF//平面A1CD;
(Ⅱ) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ) 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.

【答案】


42.(2013年高考重庆卷(文))(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)
如题(19)图,四棱锥中,⊥底面,,, .zhangwlx
(Ⅰ)求证:⊥平面;
(Ⅱ)若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积.
【答案】



43.(2013年高考江西卷(文))如图,直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中,AB//CD,
AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3
(1)证明:BE⊥平面BB1C1C;
(2)求点B1 到平面EA1C1 的距离
【答案】解.(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则
在
在,故
由
(2)
,
同理,
因此.设点B1到平面的距离为d,则
,从而


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