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2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编9:圆锥曲线
作者:未知 文章来源:网上收集 点击数: 更新时间:2013-7-21 16:59:36

简介
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编9:圆锥曲线

一、选择题
1 .(2013年高考湖北卷(文))已知,则双曲线:与:的(  )
A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等
【答案】D
2 .(2013年高考四川卷(文))从椭圆上一点向轴作垂线,垂足恰为左焦点,是椭圆与轴正半轴的交点,是椭圆与轴正半轴的交点,且(是坐标原点),则该椭圆的离心率是(  )
A.B.C.D.
【答案】C
3 .(2013年高考课标Ⅱ卷(文))设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线L过F且与C交于A, B两点.若|AF|=3|BF|,则L的方程为(  )
A.y=x-1或y=-x 1B.y=(X-1)或y=-(x-1)
C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)
【答案】C
4 .(2013年高考课标Ⅰ卷(文))为坐标原点,为抛物线的焦点,为上一点,若,则的面积为(  )
A.B.C.D.
【答案】C
5 .(2013年高考课标Ⅰ卷(文))已知双曲线的离心率为,则的渐近线方程为(  )
A.B.C.D.
【答案】C
6 .(2013年高考福建卷(文))双曲线的顶点到其渐近线的距离等于(  )
A.B.C.1D.
【答案】B
7 .(2013年高考广东卷(文))已知中心在原点的椭圆C的右焦点为,离心率等于,则C的方程是(  )
A.B.C.D.
【答案】D
8 .(2013年高考四川卷(文))抛物线的焦点到直线的距离是(  )
A.B.C.D.
【答案】D
9 .(2013年高考课标Ⅱ卷(文))设椭圆的左、右焦点分别为是上的点,则的离心率为(  )
A.B.C.D.
【答案】D
10.(2013年高考大纲卷(文))已知且则的方程为(  )
A.B.C.D.
【答案】C
11.(2013年高考辽宁卷(文))已知椭圆的左焦点为F两点,连接了,若,则的离心率为(  )
A.B.C.D.
【答案】B
12.(2013年高考重庆卷(文))设双曲线的中心为点,若有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和,使,其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是zhangwlx(  )
A.B.C.D.
【答案】A
13.(2013年高考大纲卷(文))已知抛物线与点,过的焦点且斜率为的直线与交于两点,若,则(  )
A.B.C.D.
【答案】D
14.(2013年高考北京卷(文))双曲线的离心率大于的充分必要条件是(  )
A.B.C.D.
【答案】C
15.(2013年上海高考数学试题(文科))记椭圆围成的区域(含边界)为,当点分别在上时,的最大值分别是,则(  )
A.0B.C.2D.
【答案】D
16.(2013年高考安徽(文))直线被圆截得的弦长为(  )
A.1B.2C.4D.
【答案】C
17.(2013年高考江西卷(文))已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|=(  )
A.2:B.1:2C.1:D.1:3
【答案】C
18.(2013年高考山东卷(文))抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点M,若在点M处的切线平行于的一条渐近线,则=(  )
A.B.C.D.
【答案】D
19.(2013年高考浙江卷(文))如图F1.F2是椭圆C1: y2=1与双曲线C2的公共焦点(  )
A.B分别是C1.C2在第二.四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是
(  )
A.B.C.D.
【答案】D.
二、填空题
20.(2013年高考湖南(文))设F1,F2是双曲线C, (a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P.使
PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为___________.
【答案】
21.(2013年高考陕西卷(文))双曲线的离心率为________.
【答案】
22.(2013年高考辽宁卷(文))已知为双曲线的左焦点,为上的点,若的长等于虚轴长的2倍,点 在线段上,则的周长为____________.
【答案】44
23.(2013年上海高考数学试题(文科))设是椭圆的长轴,点在上,且.若,,则的两个焦点之间的距离为_______.
【答案】
24.(2013年高考北京卷(文))若抛物线的焦点坐标为(1,0)则=____;准线方程为_____.
【答案】2,
25.(2013年高考福建卷(文))椭圆的左、右焦点分别为,焦距为.若直线与
椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于__________
【答案】
26.(2013年高考天津卷(文))已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为______.
【答案】
三、解答题
27.(2013年高考浙江卷(文))已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1)
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ) 过点F作直线交抛物线C于A.B两点.若直线AO.BO分别交直线l:y=x-2于M.N两点,
求|MN|的最小值.

【答案】解:(Ⅰ)由已知可得抛物线的方程为:,且,所以抛物线方程是: ;
(Ⅱ)设,所以所以的方程是:,
由,同理由
所以①
设,由,
且,代入①得到:
,
设,
①当时
,所以此时的最小值是; 
②当时,
,所以此时的最小值是,此时,;
综上所述:的最小值是;
28.(2013年高考山东卷(文))在平面直角坐标系中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在轴上,短轴长为2,离心率为
(I)求椭圆C的方程
(II)A,B为椭圆C上满足的面积为的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C与点P,设,求实数的值.
【答案】

将代入椭圆方程,得

29.(2013年高考广东卷(文))已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.
(1) 求抛物线的方程;
(2) 当点为直线上的定点时,求直线的方程;
(3) 当点在直线上移动时,求的最小值.
【答案】(1)依题意,解得(负根舍去)
抛物线的方程为;
(2)设点,,,
由,即得.
∴抛物线在点处的切线的方程为,
即.
∵, ∴ .
∵点在切线上, ∴. ①
同理, . ②
综合①、②得,点的坐标都满足方程 .
∵经过两点的直线是唯一的,
∴直线 的方程为,即;
(3)由抛物线的定义可知,
所以
联立,消去得,




当时,取得最小值为
30.(2013年上海高考数学试题(文科))本题共有3个小题.第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.
如图,已知双曲线:,曲线:.是平面内一点,若存在过点的直线与、都有公共点,则称为“型点”.
(1)在正确证明的左焦点是“型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
(2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“型点;
(3)求证:圆内的点都不是“型点”.
【答案】


31.(2013年高考福建卷(文))如图,在抛物线的焦点为,准线与轴的交点为.点在抛物线上,以为圆心为半径作圆,设圆与准线的交于不同的两点.
(1)若点的纵坐标为2,求;
(2)若,求圆的半径.

【答案】解:(Ⅰ)抛物线的准线的方程为,
由点的纵坐标为,得点的坐标为
所以点到准线的距离,又.
所以.
(Ⅱ)设,则圆的方程为,
即.
由,得
设,,则:

由,得
所以,解得,此时
所以圆心的坐标为或
从而,,即圆的半径为
32.(2013年高考北京卷(文))直线():相交于,两点, 是坐标原点
(1)当点的坐标为,且四边形为菱形时,求的长.
(2)当点在上且不是的顶点时,证明四边形不可能为菱形.
【答案】解:(I)因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.
所以可设,代入椭圆方程得,即. 所以|AC|=.
(II)假设四边形OABC为菱形.
因为点B不是的顶点,且AC⊥OB,所以.
由,消去并整理得.
设A,C,则,.
所以AC的中点为M(,).
因为M为AC和OB的交点,且,,所以直线OB的斜率为.
因为,所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形,与假设矛盾.
所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.
33.(2013年高考课标Ⅰ卷(文))已知圆,圆,动圆与圆外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线交于,两点,当圆的半径最长是,求.
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑.
【答案】解:由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径;圆N的圆心为N(1,0),半径.
设知P的圆心为P(x,y),半径为R.
(I)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以
.
有椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左.右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左定点除外),其方程为.
(II)对于曲线C上任意一点,由于,所以R2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2,所以当圆P的半径最长时,其方程为;
若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得.
若l的倾斜角不为90°,则知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,
则,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x 4).由l于圆M相切得,
解得k=±.
当k=时,将y=x 代入,并整理得,
解得.
当k=.
综上,.
34.(2013年高考陕西卷(文))已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.
(Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率.
【答案】解: (Ⅰ) 点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍,则
.
所以,动点M的轨迹为 椭圆,方程为
(Ⅱ) P(0, 3), 设
椭圆经检验直线m不经过这2点,即直线m斜率k存在..联立椭圆和直线方程,整理得:


所以,直线m的斜率
35.(2013年高考大纲卷(文))已知双曲线离心率为直线
(I)求;
(II)证明:成等比数列
【答案】(Ⅰ)由题设知,即,故.
所以C的方程为.
将y=2代入上式,求得,.
由题设知,,解得,. [来源:12999数学网]
所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,C的方程为. ①
由题意可设的方程为,,代入①并化简得,
.
设,,则
,,,.
于是
,

由得,,即.
故,解得,从而.
由于,
,
故,
.
因而,所以、、成等比数列.
36.(2013年高考天津卷(文))设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值.
【答案】

37.(2013年高考辽宁卷(文))如图,抛物线,点在抛物线上,过作的切线,切点为(为原点时,重合于),切线的斜率为.
(I)求的值;
(II)当在上运动时,求线段中点的轨迹方程.

【答案】


38.(2013年高考课标Ⅱ卷(文))在平面直角坐标系xOy中,己知圆P在x轴上截得线段长为2,在Y轴上截得线
段长为2.
(Ⅰ)求圆心P的轨迹方程;
(Ⅱ)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.
【答案】


39.(2013年高考湖北卷(文))如图,已知椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别
为,,过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从
大到小依次为A,B,C,D.记,△和△的面积分别为和.
(Ⅰ)当直线与轴重合时,若,求的值;
(Ⅱ)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得?并说明理由.

2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷
【答案】依题意可设椭圆和的方程分别为
:,:. 其中,
(Ⅰ)解法1:如图1,若直线与轴重合,即直线的方程为,则
,,所以.
在C1和C2的方程中分别令,可得,,,
于是.
若,则,化简得. 由,可解得.
故当直线与轴重合时,若,则.
解法2:如图1,若直线与轴重合,则
,;
,.
所以.
若,则,化简得. 由,可解得.
故当直线与轴重合时,若,则. 

(Ⅱ)解法1:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得. 根据对称性,
不妨设直线:,
点,到直线的距离分别为,,则
因为,,所以.
又,,所以,即.
由对称性可知,所以,
,于是
. ①
将的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得
,.
根据对称性可知,,于是
. ②
从而由①和②式可得
. ③
令,则由,可得,于是由③可解得.
因为,所以. 于是③式关于有解,当且仅当,
等价于. 由,可解得,
即,由,解得,所以
当时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得;
当时,存在与坐标轴不重合的直线l使得.
解法2:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得. 根据对称性,
不妨设直线:,
点,到直线的距离分别为,,则
因为,,所以.
又,,所以.
因为,所以.
由点,分别在C1,C2上,可得
,,两式相减可得,
依题意,所以. 所以由上式解得.
因为,所以由,可解得.
从而,解得,所以
当时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得;
当时,存在与坐标轴不重合的直线l使得.
40.(2013年高考重庆卷(文))(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)
如题(21)图,椭圆的中心为原点,长轴在轴上,离心率,过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点,.
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;zhangwlx
(Ⅱ)取平行于轴的直线与椭圆相较于不同的两点、,过、作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外.求的面积的最大值,并写出对应的圆的标准方程.

【答案】


41.(2013年高考湖南(文))已知,分别是椭圆的左、右焦点,关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为,.当最大时,求直线的方程.
【答案】解: (Ⅰ) 先求圆C关于直线x y – 2 = 0对称的圆D,由题知圆D的直径为直线对称.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知(2,0), ,据题可设直线方程为: x = my 2,m∈R. 这时直线可被圆和椭圆截得2条弦,符合题意.
圆C:到直线的距离. [来源:www.zx98.com]
.


由椭圆的焦半径公式得:
.


所以当
42.(2013年高考安徽(文))已知椭圆的焦距为4,且过点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设为椭圆上一点,过点作轴的垂线,垂足为.取点,连接,过点作的垂线交轴于点.点是点关于轴的对称点,作直线,问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由
【答案】解: (1)因为椭圆过点
 且
    椭圆C的方程是
(2)

由题意,各点的坐标如上图所示,
则的直线方程:
化简得
又,
所以带入
求得最后
所以直线与椭圆只有一个公共点.
43.(2013年高考江西卷(文))椭圆C:=1(a>b>0)的离心率,a b=3
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2m-k为定值.

【答案】解: 所以再由a b=3得a=2,b=1,

 ①
将①代入,解得
又直线AD的方程为 ②
①与②联立解得
由三点共线可角得
所以MN的分斜率为m=,则(定值)


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