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表面涂漆的小积木的块数         ★★★
表面涂漆的小积木的块数
作者:中学数学 文章来源:中学数学 点击数: 更新时间:2005-9-25 11:09:09

表面涂漆的小积木的块数

  一块表面涂着红漆的大积木(正方体),被锯成8块大小一样的小积木,则如图1,这些小积木的三面漆有红漆,另外三面没有漆。

  

  图1

  如果这块大积木被锯成27块大小一样的小积木,那么,这些小积木中,

  (1)三面涂漆的有几块?

  (2)两面涂漆的有几块?

  (3)一面涂漆的有几块?

  这时,就不能再用把积木锯开的办法来回答问题了。但只需认真观察一下,你就能发现,把正方体锯开以后,只有位于正方体八个角上的那些小积木,是三面涂漆的。也就是说,三面涂漆的小积木的块数,等于正方体的顶点数,有8块;

  两图涂漆的那些小积木,位于正方体的两个面的交界处,但不在正方体的角上(即顶点处)。如图2中,在棱AD上。那块涂有阴影的小积木,就是两面涂漆的。因此,只需首先确定正方体的某条棱上出现的两面涂漆的小积木的块数,而正方体有12条棱。于是,立即可以求得,两面涂漆的小积木的块数为

  1块×12=12块;

2

  一面涂漆的小积木,位于正方体每个面的中心部位。即不在正方体的顶点处,也不在棱上。如图2中,在面,那个以EFGH为一个面的小积木。因此,只需首先确定正方体的某一个面上出现的一面涂漆的小积木的块数,而正方体有6个面。于是可得,一面涂漆的小积木的块数为

  1块×6=6块。

  通过观察,找出解决问题的规律,是学习数学的重要任务之一。这样,就能运用数学知识迅速而又有效地解决实际问题。根据上面归纳出来的分析方法,即使把这个正方体锯成更多的小积木,我们也能轻松地回答类似的问题。例如,我们进一步提出:如果把这个正方体锯成64块大小一样的小积木,那么,三面涂漆、两面涂漆和一面涂漆的小积木各有多少块?

  显然,三面涂漆的仍然只有8块;

  因为,如图3,在棱AD上,两面涂漆的小积木有两块,所以共有两面涂漆的小积木

  2×12=24块;

  图3

  类似地,从图3中可以看出,面ABCD的中心部位有4个小正方形,它们既不在正方体的棱上,也不在顶点处(图上阴影部分)。因而,在这个面上相应地可以得到4个只有一面涂漆的小积木。所以,一面涂漆的小积木共有

  4×6=24块。

  想一想,如果把这个正方体锯成的小积木的块数更多一些(如125块),你能算出涂漆面数不同的小积木的块数各是多少吗?

摘自:《中学数学》


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