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华人数学家独领风骚--周炜良         
华人数学家独领风骚--周炜良
作者:见正文 文章来源:网络 点击数: 更新时间:2008-10-12 1:31:29

【周氏坐标】数学家周炜良在代数几何学方面的研究成果被国际数学界称为“周氏坐标;另外还有以他命名的“周氏定理”和“周氏环”。

 

周炜良 1911年10月1日生于上海.代数几何.

周炜良的父亲周达(美权)是清末民初著名数学家、集邮家,家境比较富裕.周炜良幼年在上海生长,从未进过学校.5岁开始学中文,11岁学英文,都由家庭教师讲授.20年代上海的大中学校颇多使用美国的原文课本,周炜良即自学各种知识:从数学到物理,从历史到经济.1924年,周炜良恳求父亲送他到美国读书,先在肯塔基州的阿斯伯里学院补习,后来进入肯塔基大学.那时的主要兴趣在政治经济.直到1929年10月进入芝加哥大学时,仍然主修经济学.可是此后两年内发生了变化.

1931年夏天,一位在芝加哥大学得到博士学位后又去普林斯顿工作一年的中国数学家,劝周炜良到普林斯顿去,或者去德国的格丁根大学——那时的世界数学中心.于是在1932年10月,周炜良带着研究数学的模糊想法去了格丁根.补了半年的德文后,希特勒法西斯上台,格丁根衰落了.周炜良在芝加哥时曾读过B.L.范·德·瓦尔登(Van der Waerden)写的《代数学》(Algebra),十分欣赏,于是转到莱比锡大学随范·德·瓦尔登研究代数几何,这是1933年夏天的事.次年夏天,周炜良到汉堡渡暑假,遇到维克特(Margot Victor)小姐,成为好友.周炜良滞留汉堡大学,随数学家E.阿丁(Artin)听课.直至1936年初才回到莱比锡,在范·德·瓦尔登指导下完成博士论文,并和维克特完婚.婚礼上,正在汉堡大学留学的陈省身是唯一的中国宾客.

周炜良成家立业之后,遂返回上海,在南京的中央大学任数学教授.一年后,抗日战争爆发,不得已留在上海.周炜良的岳父在德国曾有很好的工作,由于希特勒的种族迫害而流亡上海,几乎身无分文.这时的周炜良必须自立挣钱,供养太太、两个孩子,以及岳父母.

抗日战争胜利后,周炜良计划经营进出口贸易.大约在1946年春天,陈省身从美国返回上海.他力劝周炜良重返数学研究,并留下许多战时发表的论文,特别是O.扎里斯基(Zariski)和A.韦伊(Weil)的论文预引本.周炜良虽然离开数学已近10年之久,但他终于作出了他一生中最重要的决定:回到数学领域.

由于陈省身写信给普林斯顿的S.莱夫谢茨(Lefschetz)作了推荐,周炜良在上海同济大学短期任教之后,便于1947年春天到达普林斯顿.他在那里做了一些相当好的工作.次年,范·德·瓦尔登访问位于美国马里兰州的约翰·霍普金斯大学,周炜良去看他,恰好该校有一个教职的空缺,周炜良遂应聘到那里就任副教授.1950年升任正教授.当年,战后首次恢复的国际数学家大会在美国举行,周炜良作为该校的正式代表与会,会后曾在哈佛大学短期讲学.1955年再度去普林斯顿进行访问研究,返回霍普金斯大学之后就任数学系主任,前后达11年之久(1955—1966).1959年,他当选为台北中央研究院院士.1977年,周炜良退休,成为霍普金斯大学的荣退教授.

周炜良把毕生精力奉献给代数几何的研究,成为20世纪代数几何学领域的主要人物之一,以周炜良名字命名的数学名词,仅在日本《岩波数学词典》里就收有7个.回顾20世纪中国数学的历史,能在世界数坛上留下痕迹的华人数学家并不多,周炜良是其中杰出的一位.

代数几何学是解析几何的深入和发展.正如二元二次代数方程。x2+y2=r2的解集(x,y)可以表示半径为r的圆,代数几何的研究对象仍是高次多元代数方程或代数方程组的解集,即系数在某域k内的n元多项式F1,F2,…,Fn所形成的代数方程组F1(x1,…,xn)=0,F2(x1,…,xn)=0,…,Fn(x1,…,xn)=0的位于域k内的公共解集合V,我们称之为代数簇(algebraicvariety),最简单的代数簇就是平面曲线.椭圆函数、椭圆积分、阿贝尔(Abel)积分等都与平面曲线有关,复变量的代数函数论及黎曼曲面论进一步推动了现代代数几何学的发展.

19世纪下半叶,德国的R.克莱布施(Clebsch)、J.普吕克(Plcker)、M.诺特(Noether)以及意大利学派曾做出很大贡献.经过J.H.庞加莱(Poincar)、C.E.皮卡(Picard)、J.W.R.戴德金(Dedekind)和A.凯莱(Cayley)的发展,到20世纪20—30年代,E.诺特(Noether)、E.阿廷(Artin)和他们的学生范·德·瓦尔登创立了抽象代数学,为代数几何学的研究注入了新的活力.周炜良的代数几何学研究正是在这样的背景下开始的.

周炜良坐标

1937年,周炜良最初的两篇论文发表在德国《数学年刊》(Mathematische Annalen)上.第一篇是与范·德·瓦尔登合作的,第二篇则是周炜良的博士论文.这两篇文章继承了凯莱和普吕克的工作,并将其推广到n维射影空间Pn上的代数簇.其中指出,任何n维射影空间Pn中的不可约射影族X可唯一地由一个配型(associated form)Fx所决定,配型的坐标即著名的周炜良坐标.该坐标是普吕克坐标的推广,现已成为代数几何学研究的一项基本工具.

抗日战争开始后,周炜良在上海闲居,继续研究数学.1939年,他发表了一篇重要论文“关于一阶线性偏微分方程组”,将C.卡拉西奥多里(Carathodory)的一项工作(1909)推广到一般的高维流形.当时并未引起人们注意,事隔30余年之后,这篇文章成为非线性连续时间系统可控性数学理论的基石之一.控制论表达的周炜良定理(或称卡拉西奥多里-周定理)可以写成:

设V(M)是解析流形M上所有解析向量场的全体,D是V(M)中对称子集,T(D)是V(M)中含D的最小子代数,I(D,x)是通过x的极大积分流形.那么,对任何x∈M,y∈I(D,x),都存在一条积分曲线α:[0,T]→M,T≥0,使得α(0)=x,且α(T)=y.

抗日战争后期,周炜良曾有论文涉及代数基本定理的拓扑证明和电网络理论等,似乎已偏离了代数几何学的方向.信息断绝和乏人讨论,恐是主要原因.

周炜良于1947年到达普林斯顿高级研究院,开始了他的黄金创作期.他首先撰文阐明,E.嘉当(Cartan)意义下的对称齐次空间可以表示为代数簇,因而能用代数几何的框架研究其几何学性质.该文所附文献中包括华罗庚的有关矩阵几何学的论文多篇.1947—1948年间,法国数学家C.谢瓦莱(Chevalley)也在普林斯顿,他对周炜良的这篇论文做了很长的评论性摘要,发表于美国的《数学评论》(Mathematical Review).谢瓦莱曾邀请周炜良证明下列猜想:“任何代数曲线,在一个代数系统中的亏数,不会大于该系统中一般曲线的亏数”.周炜良使用纯代数的方法给出了证明,其主要工具之一仍然是范德瓦尔登-周炜良形式.

关于解析簇的周炜良定理

周炜良于1949年发表了一篇重要论文“关于紧复解析簇”.所谓解析簇V,是指对任何p∈V,总存在一组解析函数g1,g2,…,gn,和点p的一个邻域B(p),使得V∩B(p)中的点x都是g1,g2,…,gn的零点.这是一种局部性质.由于多项式都是解析函数,所以代数簇都是解析簇.周炜良证明了某些情形下的逆命题:

“若V是n维复射影空间CPn中的闭解析子簇,那么它一定是代数簇,而且所有闭解析子簇间的半纯映射,一定是有理映射”.

这一反映由局部性质向整体性质过渡的深刻结论,被称为周炜良定理(Chow Theorem),在代数几何学著作中广受重视.在许多论文里,常常把它作为新理论的出发点.

复解析流形

1950年前后,复解析流形的研究形成热门课题.日本数学家小平邦彦(K.Kodaira)是这方面的专家,当时也在美国工作,与周炜良有交往.1952年,周炜良证明了如下结果:“若V是复r维的紧复解析流形,F(V)是V上半纯函数所构成的域,则F(V)是有限的代数函数域,其超越维数s不会大于r.此外,还存在一s维的代数簇V'以及V到V'的半纯变换T,使T可诱导出F(V)和F(V')间的同构.特别地,如果可选择V'使得T还是双正则变换,那么V必是代数簇.这就把复解析流形和代数簇联系起来了.

把这个一般的结论用于二维的克勒(Khler)曲面,并用小平邦彦所建立的克勒流形上的黎曼-罗赫(Riemann-Roch)定理,就可以得出如下结论:“具有两个独立的半纯函数的克勒曲面(即s=r=2的情形)一定是代数曲面.”这是周炜良和小平邦彦合作的论文中的一个结论,被称为周-小平(Chow-Kodaira)定理.

周炜良簇和周炜良环

用周炜良坐标可以对平面曲线和空间曲线进行分类.只要由已知的次数d和亏数g,从非奇异的空间射影曲线的周炜良坐标形成所谓周炜良簇,就能很自然地用有限个拟射影簇将它参数化.

在射影簇研究上,另一个为人们称道的周炜良引理(ChowLemma),涉及完全簇和射影簇的关系.苏联数学家И.Р.沙法列维奇(ЩaфapeВИЧ)在其名著《代数几何基础》中曾提到这一引理:

“对于每一个不可约的完全簇X,总有一个射影簇X',使得X和X'之间有一双有理同构”.

周炜良在射影簇方面最著名的工作是提出周炜良环(ChowRing).他于1956年发表的论文“关于代数簇上闭链的等价类”中,提出了射影代数簇上代数闭链的有理等价性的系统理论.大意是:设V是n维射影空间Pn上的代数簇,其上的s维闭链所成的群为G(V,s),与零链等价的闭链成子群Gr(V,s).令Hr(V,s)是二者的商群.将s从1到n作直和,得

Hr(V)=Hr(V,s).

周炜良在Hr(V)上定义一种乘法,使之构成环,这就是著名的周炜良环.它是结合的,交换的,具有单位元.这篇论文由M.F.阿蒂亚(Atiyah)写成文摘刊于美国的《数学评论》.

周炜良环具有很好的函子性质:设p是两代数簇X,V之间的模射,f:X→V,则V中闭链C的原象f-1(C)也是X中的闭链,且此运算与相截(intersection)和有理等价性能够相容.因此,它是代数几何研究中的一项重要工具.周炜良环在许多情形可以代替上同调环.在证明各种黎曼-罗赫定理时,常用周炜良环去导出陈省身类.著名的韦伊(Weil)猜想的解决,也可使用周炜良环.

另一个常被引用的结论是所谓周炜良运动定理(Chow’s Mo-ving Lemma):若Y,Z是非奇异拟射影簇X中的两闭链,则必存在与Z有理等价的闭链Z',使Y和Z'具有相交性质(inte-rsect property).1970年在奥斯陆举行的代数几何会议上,有专文论述此定理.

关于阿贝尔簇的周炜良定理

20世纪40年代,A.韦伊(Weil)等开创了阿贝尔簇的研究.他们把代数曲线上的雅可比(Jacobi)簇发展为一般代数流形上的皮卡-阿尔巴内塞(Picard-Albanese)簇理论,将过去意大利学派的含糊结果加以澄清.周炜良对此作了丰富和发展,并推广到特征p域的情形.周炜良在文献[10]中证明对一般射影代数簇都存在雅可比簇.文献[11]和[12]给出了阿贝尔簇的代数系统理论,其中有关可分(separable)、正则(regular)和本原扩张(pri-mary extention)的论述,已成为这一领域的基本文献.

周炜良还证明了以下结论:“若A是域k上的阿贝尔簇,B是定义在k的准素扩张K上的阿贝尔子簇,那么B也在k上有意义.”S.郎(Lang)称之为周炜良定理.

周炜良在1957年发表的关于阿贝尔簇的论文也反复被人引用.这一年,普林斯顿大学以数学名家莱夫谢茨的名义举行“代数几何与拓扑”的科学讨论会,韦伊和周炜良都参加了.他们两人在会上宣读的论文密切相关.韦伊证明任何阿贝尔簇都可嵌入射影空间,而周炜良则证明任何齐次簇(不必完备)也可嵌入射影空间.文章不长,但解决得很彻底.

其他工作

周炜良在代数几何领域的研究,涉及很广.例如扎里斯基关于抽象代数几何中的退化原理(degeneration principle)的论证,很长而且难懂,周炜良把证明作了大幅度压缩,并加以推广.他和井草准一(J.lgusa)合作,建立了环上代数簇的上同调理论.此外,还推广了代数几何中的连通性定理.在扩充由W.V.霍奇(Hodge)与D.佩多(Pedoe)证明的格拉斯曼(Grassm- ann)簇的基本定理时,指出了某些环空间上的代数特性.这些都是很有价值的工作.退休之后,周炜良仍然研究不辍.1986年,他以75岁高龄,发表了题为“齐次空间上的形式函数(formalfunction)”的论文.

P.拉克斯(Lax)把周炜良列为最重要的移居美国的数学家之一.但他性情淡泊,甚至很少参加国际学术会议.他是台北中央研究院院士,却长期不参加活动.应该说,周炜良的学术成就远超过他应得的荣誉.不过,各种代数几何的论著不断地引用周炜良的工作,并以周炜良的名字陆续命名一系列术语,这也许是更有意义的褒奖了.


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