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默默无闻的数学家张益唐攻破了素数难题         ★★★
默默无闻的数学家张益唐攻破了素数难题
作者:Erica Kl… 文章来源:网络 点击数: 更新时间:2013-6-6 15:57:19

默默无闻的数学家攻破了素数难题

 

Erica Klarreich

2013417号,一篇论文投稿到数学领域最富盛名的期刊之一《数学年刊》。论文的作者是一位来自新罕布什尔大学的在该领域名经传的讲师,年逾50的学者张益唐。这篇论文声称朝着解决数学史上最古老的问题—孪生素数问题前进了一大步。

那些著名数学期刊的编辑早已习惯面对那些不知名的作者夸大其词的论断。不过这篇论文却与众不同,因为这显然是一份深思熟虑的证明:语言清晰严密并且使用了该问题最前沿的方法。数学年刊的编辑决定对其做有限处理。

仅仅三周时间,相对于数学期刊通常的审稿节奏也就是一眨眼的功夫,张就收到了他的论文的审稿意见。其中一个审稿人写到:“主要结果都是一流的”。论文的作者证明了“关于素数分布的里程碑式的定理”。

一项巨大进展被一个之前默默无闻的研究者发现了,这个传闻在数学家里迅速传播开来。张益唐在1992获得博士学位之后,其学术才能就一直被人忽视。他找不到学术界的工作,当过几年会计,甚至在Subway干过。

蒙特利尔大学的数论专家Andrew Granville教授说:“事实上,根本没人认识他。但突然之间,他就证明了数论史上重要的结果之一”。

哈佛大学的数学家们在513号急忙地为张安排了报告会,让他在众多的专家面前展示自己的成果。随着更多的细节浮出水面,显然张的成果并不是通过一个全新的方法得到的,而是坚持不懈地运用已有的方法。Granville提到“这个领域的专家早就已经尝试过使用这种方法”,“虽然他并不为人所知,但是那些专家都失败了,他却成功了。”

孪生素数对问题

素数就是因数除了1就是他们本身的自然数。它们如同数学的原子一样,从欧几里得在2000年前证明了存在无穷多个开始,就让无数数学家们为之倾倒。

因为素数和乘法相关,理解他们和加法相关的性质就变得非常困难。一些数学上最古老的未解之谜就和素数的加法运算相关,其中之一就是孪生素数猜想:存在无限多组之差为2的素数对。另一个则是哥德巴赫猜想:所有的偶数都可以表示为两个素数之和(非常凑巧的是,在张在哈佛做报告的时候,后一个猜想的简化版本被巴黎高等师范学院的Harald Helfgott发布在网上的论文给证明了)。

在自然数列的起始部分存在着大量的素数,但是随着数字变大,他们变得原来越稀少。比如在前10个自然数中40%是素数:2357,但是在所有的10位数中仅有4%是素数。在过去的一个世纪里,数学家们已经掌握了平均意义上素数减少的规律:在大数中,连续素数之间的间隔大约是位数的2.3倍。比如在100位的数中,两个素数的平均间隔大约是230

但这只是就平均而言的结果。素数经常比平均预计的结果更加紧密或稀疏的出现。特别是孪生素数经常会突然出现,比如:351113,他们的差仅为2。而在大数中,孪生素数似乎从没有彻底消失(目前发现的最大的孪生素数是3756801695685×2^666669-13756801695685×2^666669 + 1)。

数百年来,数学家一直假设存在无穷多对孪生素数。1849年,法国数学家Alphonse de Polignac扩展了这个猜想,提出不仅仅是2,对于任意有限的间隔都存在着无穷多组素数对。

从那时开始,即使不知道他们有什么用,这些猜想的内在吸引力就给予它们数学圣杯的地位。然而尽管有很多人尝试去证明,数学家们还是不能排除素数的间隔会一直增长并最终超过一个特定上限的可能。

现在张攻破了这道障碍。他的论文显示对于某一个小于7千万的数字N,存在无穷多组之差为N的素数对。无论你在那些庞大素数的沙漠里走多久,也不论这些素数变得多么稀疏,你总会不停的发现之差小于7千万的素数对。

圣荷西州立大学的数论学者Daniel Goldston说:这个结果“令人震惊”,“这是之前以为可能永远无法解决的问题之一。”

素数

张的证明源于8年前的一篇论文。这篇论文被数论专家们称为GPY,由文章的三位作者姓名Goldston, János Pintz (Alfréd Rényi Institute of Mathematics in Budapest) 的首字母命名。虽然GPY非常接近最终的结论,但最后还是无法证明在有限的间隔内存在无穷多素数对。

这篇论文的结论证明,总是存在一些素数对,他们的间隔小于平均的间距预计。更确切地说,GPY证明对于任意选定的一个平均的间距的部分,无论其多么小,只要沿着自然数列走足够远,其中总会存在一对素数。但是研究者不能证明这些间隔总是小于某一个特定的有限值。

GPY使用了一种被称为“筛法”的方法去过滤出那些间隔小于平均数的素数对。自2000年前埃拉托色尼成为寻找素数的方法开始,筛法一直被用在素数的研究当中。

使用埃拉托色尼筛来寻找100以内的素数,我们从2开始,划掉100以内能被2整出的数。接着来到3,划掉所有能被3整除的数。4已经被划掉,所以你直接跳到5,划去所有能被5整出的数,以此类推。最后剩下的数就是素数。

埃拉托色尼筛在识别素数上表现完美,但是对于解决理论问题却过于笨重低效。在过去的一个世纪中,针对这些问题,数论专家们发展出了一整套方法来提供近似的答案。

Goldston提到:“埃拉托色尼筛的效果实在是太好了”,“现代筛法放弃了完美的过滤”。

GPY设计了一种可以过滤出一连串的数,这些数中可能有潜在的素数对。为了从这些数中发现事实上的素数对,研究者们将他们的“筛”和一个函数结合起来,这个函数的有效性取决于一个被称为分布层级的系数,它用来衡量素数会以多快的速度开始显现出某些规律性。

这个分布层级系数被认为至少为1/2。这正好是GPY所采纳的系数,但是它无法证明在一个确定的间隔之内总是存在满足条件的素数对。GPY方法所使用的筛虽然可以证明这个结论,但是需要证明这个系数可以大于1/2。任何超过1/2的数都可以。他们认为:GPY定理“距离解决这个问题看起来只是一根头发丝宽的距离”。

但是随着更多的研究者试着解决这个困难,这个头发变得越来越粗。在上世纪80年代,3个研究者Enrico BombieriJohn FriedlanderHenryk Iwaniec通过调整分布层级系数的定义,将其调整到4/7。在05GPY论文发表之后,研究者们努力地试着将这个调整定义后的分布层级系数整合进GPY的框架之内,但是都无功而返。

Granville评论到:“这个领域有名的专家尝试过并且都失败了,”“我个人认为没有人能在短时间内做到。”

跨越沟壑

与此同时,张在孤军奋战,试图在GPY定理和孪生素数定理之间架设桥梁。作为一个中国移民,他自从普渡大学获得博士学位以来,都对数论充满兴趣,即使这不是他博士论文的题目。在那些困难的岁月,他无法获得一份学术界的工作,但他仍然继续紧跟该领域的进展。

他说:“职业生涯中有很多机会,但重要的是要保持思考”。张读到了GPY的论文,并且读到了那句关于GPY定理和孪生素数猜想仅有头发丝宽的距离的话。他说:“那句话给了我非常深刻的印象”。没有和该领域的专家进行交流,张开始独自思考这个问题。可是经过了3年,他却没有一点儿进展。他说:“我感到非常的疲惫”。

为了放松一下,上个夏天张拜访了他在科罗拉多州的朋友。63,就在他朋友的后院等待启程去演唱会的半小时时间里,他突然想到了问题的答案。他说:“我突然就意识到这样可以行得通。”

张的想法不是直接使用GPY而是对其进行修改。修改后的筛,不会对每一个数都进行过滤,而仅仅是那些没有大的素因子的数。

Goldston说:“他的筛并不是那么的完善因为你并没有使用可以过滤出的所有东西。但是,虽然过滤不是那么有效,这却给了他灵活性,让结论能够成立。”Goldston认为新发明的筛使得张证明存在无穷多组之差不超过7千万的素数对,但使用他的方法证明孪生素数猜想却可能性很小。他说:即使在分布层级系数最强的假设条件下,通过GPY方法所能得到的最好的结果也是存在无穷多之差不超过16的素数对。

Granville却认为数学家们不能提前排除使用这些方法来最终证明孪生素数猜想的可能性。他说:“这次的发现是革命性的,而且有时在新的证明被发现后,之前被认为非常困难的问题却仅仅是一个很小的扩展。现在开始,我们需要研究这篇论文,看能从中发现些什么。”

张花费了数月的时间来完善所有的细节,最终的论文是清晰阐述的典范。Granville评价道:“他顾及到了所有细节,让人无从质疑。文章没有含糊不清的地方。”在张收到了审稿意见以后,事件被飞速公布出来。关于他工作的演讲邀请纷至沓来。Granville说“我认为大家对于一个默默无闻的人能做到这一点感到相当的兴奋”。对于自我评价很害羞的张来说,成为聚光灯的焦点有点儿不舒服。他说:“我不禁自问,‘为什么一切来的这么之快’?有时这令人很困惑”。

他在哈佛的演讲以其清晰性被出席者所称道,此时张益唐并不害羞。他说:“当我做演讲并且专注于数学时,我就把害羞丢在脑后了”。张说他对于之前相对默默无闻的学术生涯一点儿也没感觉怨恨。他说:“我的心态很平和。我不是特别在乎钱,或者荣誉。我渴望安静和一个人工作。”

与此同时,张已经开始了他的下一个计划,他拒绝更加详细的透露。他说:“希望能取得不错的结果。”


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