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1.3.1单调性与最值(3)教案(人教版必修1)
作者:未知 文章来源:网上收集 点击数: 更新时间:2013-8-16 22:33:15

简介
1.3.1 单调性与最值(3)
教学目标: 1.使学生理解函数最大(小)值及其几何意义;
2.使学生掌握函数最值与函数单调性的关系;
3.使学生掌握一些单调函数在给定区间上的最值的求法;
4.培养学生数形结合、辩证思维的能力;
5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。
教学重点:函数最值的含义
教学难点:单调函数最值的求法
教学方法:讲授法
1.函数最大值与最小值的含义
①定义:一般地,设函数 的定义域为 ,如果存在实数 满足:
(1)对于任意的 ,都有 ;(2)存在 ,使得 。
那么,我们称 是函数 的最大值(maximum value).
②几何意义:函数 的最大值是图象最高点的纵坐标。
思考:你能仿照函数最大值的定义,给出函数 的最小值(minimum value)吗?并说明几何意义?
一般地,设函数 的定义域为 ,如果存在实数 满足:
(1)对于任意的 ,都有 ;(2)存在 ,使得 。
那么,我们称 是函数 的最小值(minimum value).
几何意义:函数 的最大值是图象最低点的纵坐标。
2.最值的求法
①配凑法:研究二次函数 的最大(小)值,若给定区间是 ,先配方成 后,当 时,函数取最小值为 ;当 时,函数取最大值。若给定区间是 ,则必须先判断函数在这个区间上的单调性,然后再求最值(见下列例题)。(此处顺带说出求值域的方法——配方法)
②单调法:一些函数的单调性,比较容易观察出来,或者可以先证明出函数的单调性,再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.
③数形结合法:先作出其函数图象后,然后观察图象得到函数的最大值或最小值.
3.例题分析(讲解最值求解方法时带出值域)
例1.教材第30页例题3。
例2.1、求函数 在下列各区间上的最值:
(1) (2)[1,4] (3) (4) (5)
2、求函数 的最大值.
解:配方为 ,由 ,得 .
例3.求函数 在区间[2,6]上的最大值和最小值(教材第31页例4)。
分析:先判定函数在区间[2,6]上的单调性,然后再求最大值和最小值。
变式:若区间为 呢?
例4. 求下列函数的最大值和最小值:
(1) ; (2) .
解:(1)二次函数 的对称轴为 ,即 .
画出函数的图象,由图可知,当 时, ; 当 时, .
所以函数 的最大值为4,最小值为 .
(2) .
作出函数的图象,由图可知, . 所以函数的最大值为3, 最小值为-3.
点评:二次函数在闭区间上的最大值或最小值,常根据闭区间与对称轴的关系,结合图象进行分析. 含绝对值的函数,常分零点讨论去绝对值,转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.直接观察得到。
随堂巩固:
1、指出下列函数图象的最高点或最低点,→ 能体现函数值有什么特征?
, ; ,
2、函数 在区间[2,4]上的最大值,最小值是( )
A.1、 B. 、1 C. 、 D. 、
3函数 的最大值
4若 ,那么 的最小值
5、函数 的最大值是
能力提升
1已知 函数,求函数的最大值和最小值。
2已知函数
(1)当 时,求 的最值-5,37.
(2)求实数 的取值范围,使 在 上的单调函数

3已知函数 ,若对任意 , 恒成立,试求实数 的取值范围


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