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3.2.1.1几类不同增长的函数模型教案(人教版必修1)
作者:未知 文章来源:网上收集 点击数: 更新时间:2013-8-16 22:34:19

简介
3.2.1 .1 几类不同增长的函数模型
学案编写者:黄冈实验学校数学教师孟凡洲
一、【学习目标】
1、认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异
2、能应用函模型解决简单的实际生活中的问题.
二、【自学内容和要求及自学过程】
阅读材料,学习新知
材料一:一张纸的厚度大约为0.01 cm,一块砖的厚度大约为10 cm,请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度,列出函数关系式,并计算n=20时它们的厚度.你的直觉与结果一致吗?这个题目的结果事实上是纸对折n次的厚度: (cm),n块砖的厚度: (cm),f(20)≈ m, m.也许大家感到意外,但是事实就是如此,那么通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解;
材料二:用图象表示下列几个函数,指出它们属于哪种函数模型,讨论它们的单调性,比较它们的增长差异.①如果张红购买了每千克1元的蔬菜 千克,需要支付 元,把 表示为 的函数.②正方形的边长为 ,面积为 ,把 表示为 的函数.③某保护区有1单位面积的湿地,由于保护区努力湿地每年以5的增长率增长,经过 年后湿地的面积为 ,把 表示为 的函数.那么现在我们把结论写下来:① ;② ;③ (1 5)x;它们的图象分别为下图:

它们分别属于: (直线型), (抛物线型), (指数型).从表格和图象得出它们都为增函数.并且他们在不同区间增长速度不同,随着x的增大y=(1 5)x的增长速度越来越快,会远远大于另外两个函数.
同学们,通过对材料的阅读,你有什么感想?这一节课是一个特殊的课,是我们理论联系实际、学以致用的一节过渡课,下面,我们通过课本上的两个例题,来讲解一下几类不同增长的函数模型.
引申:除了我们材料中给出的三个函数模型外,同学们,你还能想得到其它函数模型吗?(另外还有与对数函数有关的函数模型,形如 ,叫做对数型函数.)
三、【例题与巩固】
【例1】:假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:方案一:每天回报40元;方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.请问,你会选择哪种投资方案?
【解题过程】:第 天所得回报是 元,则方案一可以用函数 进行描述;方案二可以用函数 进行描述;方案三可以用函数
进行描述.三个模型中,第一个是常函数,后两个都是递增函数模型.要对三个方案作出选择,就要对它的增长情况进行分析.用计算机计算一下三种所得回报增长情况.

再作出三个函数的图象
由表和图可知,方案一的函数是常数函数,方案二、方案三的函数都是 (增、减)函数,但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同.可以看到,尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍,但它们的增长量固定不变,而方案三是“指数增长”,其“增长量”是成倍增加的,从第7天开始,方案三比其他两方案增长得快得多,这种增长速度是方案一、方案二无法企及的.从每天所得回报看,在第1~3天, (方案1、2、3)最多;在第4天,方案一和方案二一样多,方案三最少;在第5~8天 最多;第9天开始, 比其他两个方案所得回报多得多,到第30天,所得回报已超过2亿元.下面再看累积的回报数.通过计算机或计算器列表如下:

因此,投资 天,应选择方案一;投资 天,应选择方案一或方案二;投资8~10天,应选择 ;投资11天(含11天)以上,则应选择 .
【学后反思】:①选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数.②课本把两种回报数都列表给出的意义何在?③由此得出怎样结论.(①选择哪种方案依据的是累积回报数.②让我们体会每天回报数增长变化.③上述例子只是一种假想情况,但从中我们可以体会到,不同的函数增长模型,其增长变化存在很大差异.)
【例2】:某公司为了实现1 000万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金 (单位:万元)随着利润 (单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25.现有三个奖励模型: , , ,其中哪个模型能符合公司的要求?
【思路】:学生先思考或讨论,再回答.教师根据实际,可以提示引导:某个奖励模型符合公司要求,就是依据这个模型进行奖励时,奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25,由于公司总的利润目标为1000万元,所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是只需在区间[10,1000]上,检验三个模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函数图象,通过观察函数的图象,得到初步结论,再通过具体计算,确认结果.
【解题过程】:作出函数 , , 的图象,
观察函数的图象(下图),在区间 上,模型y=0.25x,y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方,只有模型 的图象始终在y=5的下方,这说明只有按模型 进行奖励时才符合公司的要求.下面通过计算确认上述判断.
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增,而且当x=20时,y= ,因此,当x>20时,y> ,所以该模型不符合要求;对于模型y=1.002x,由函数图象,并利用计算器,可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0=5,由于它在区间[10,1000]上递增,因此当x>x0时,y> ,所以该模型也不符合要求;对于模型y=log7x 1,它在区间[10,1000]上递增,而且当x=1 000时,y=log71000 1≈4.55< ,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y=log7x 1奖励时,奖金是否不超过利润的25,即当x∈[10,1000]时,是否有

令f(x)= ,x∈[10,1000].利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象,由函数图象可知它是递减的,因此f(x) 练习题:教材第98页练习1、2;
【作业】
1、必做题:(某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大的调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用 (一次型、二次型、指数型、对数型)函数模型;(假设某商品靠广告销售的收入 与广告费 之间满足关系 ,当 时,取得最大广告效应;(某工厂12月份的产量是一月份产量的7备,那么该工厂这一年中的月平均增长率是 ;④某动物数量y只与时间x年的关系为: ,设第一年只有一百只,则到第七年有几只?
2、选做题:请同学们把今天所学的知识总结归纳一下.


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