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3.2.1.2几类不同增长的函数模型教案(人教版必修1)
作者:未知 文章来源:网上收集 点击数: 更新时间:2013-8-16 21:40:47

简介
3、2、1、2几类不同增长的函数模型
学案编写者:黄冈实验学校数学教师孟凡洲
【学习目标】
(寄语教师:这一节课例题要有所取舍,因为这一节课的内容比较多.)
指数函数、对数函数、幂函数的增长差异;
幂函数、指数函数、对数函数的应用.
【教学效果】:教学目标的出示,有利于学生课堂学习的目的性.
二、【自学内容和要求及自学过程】
阅读下列材料,结合教材第99-101页内容,回答下列问题
材料一:我们知道,对数函数y= (a>1),指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区间(0, ∞)上都是增函数.但这三类函数的增长是有差异的.请观察下图,下图是函数y=log2x,y=2x,y=x2的图像:

我们可以得到,在区间(0, ∞)上函数y=log2x,y=2x,y=x2均为单调增函数,y=log2x的图象与另外两函数的图象没有交点,且总在另外两函数的图象的下方,y=2x的图象与y=x2的图象有两个交点(2,4)和(4,16).
材料二:在计算器或计算机中, 常表示成1.05E 06或1.05E6.其中字母“E”表示 的“底数”10,之后的整数6即为 的指数.如下图和下表所示为函数y=2x与y=x2的图像在大范围内的图像:



<1>请你根据材料一所述,在材料一的图像上标出使下列两个不等
式 和 成立的自变量 取值范围;
<2>由问题<1>你能得出怎样结论?
<3>通过材料二,你能得出什么结论?
结论:<1>取值范围分别是(2,4)、(0,2)∪(4, ∞);<2>y=2x的图象与y=x2的图象有两个交点(2,4)和(4,16),这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系,有时2x当自变量x越来越大时,可以看到,y=2x的图象就像与x轴垂直一样,2x的值快速增长,x2比起2x来,几乎有些微不足道.
归纳:一般地,对于指数函数 (a>1)和幂函数y=xn(n>0),通过探索可以发现,在区间(0, ∞)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定变化范围内,ax会小于xn,但由于ax的增长快于xn的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有ax>xn.
同样地,对于对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),在区间(0, ∞)上,随着x的增大,logax增长得越来越慢,图象就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内,logax可能会大于xn,但由于logax的增长慢于xn的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有 综上所述,尽管对数函数logax(a>1),指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区间(0, ∞)上都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此,总会存在一个x0,当x>x0时,就会有logax0)增长快于对数函数logax(a>1)增长,但它们与指数增长比起来相差甚远,因此指数增长又称【“指数爆炸”】.
【教学效果】:学生能理解其中的含义,但是独立的总结归纳还是很缺乏的.
【练习与巩固】
例1:某市的一家报刊摊点,从报社买进《晚报》的价格是每份0.20 元,卖出价是每份0.30元,卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(以30天计)里,有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,但每天从报社买进的份数必须相同,这个摊主每天从报社买进多少份,才能使每月所获的利润最大?并计算他一个月最多可赚得多少元?
结论:设摊主每天从报社买进x份,显然当x∈[250,400]时,每月所获利润才能最大.于是每月所获利润我们可以列一个函数关系式为y=20·0.30x 10·0.30·250 10·0.05·(x-250)-30·0.20x=0.5x 625,x∈[250,400].因函数y在[250,400]上为增函数,故当x=400时,y有最大值825元.
例2某医药研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线.
<1>写出服药后y与t之间的函数关系式;
<2>据测定:每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00,问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳?
结论:<1>依题意,得y=
<2>设第二次服药时在第一次服药后t1小时,则我们可以得到下列结论 t1 =4,t1=4.因而第二次服药应在11:00;设第三次服药在第一次服药后t2小时,则此时血液中含药量应为两次服药量的和,即有 t2 (t2-4) =4,解得t2=9小时,故第三次服药应在16:00;设第四次服药在第一次后t3小时(t3>10),则此时第一次服进的药已吸收完,此时血液中含药量应为第二、三次的和, (t2-4) (t2-9) =4,解得t3=13.5小时,故第四次服药应在20:30.
注意:本节内容为高考薄弱内容,亦即高考涉及不多.但是随着新课改的到来,我们每一个老师都不敢打包票说这部分内容不考.所以讲之,勿深入之乃为上上策.
练习:教材第101页练习1、2、3
【教学效果】:例题和练习题由于时间关系我放到了自习课讲解.
【作业】
1、必做题:(某地植被被破坏,土地沙漠化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2、0.4、0.76万公顷,则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数较为近似的函数模型是下列哪一个( (如果正整数 满足 ,则 (燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 ,单位m/s,其中Q表示燕子的耗氧量.<1>计算:燕子静止时耗氧量是多少个单位;<2>当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少?④已知 ,利用图像说明 的大小关系.
2、选做题:请同学们总结归纳一下这节课的知识点.
【小结】
这节课主要学习了指数函数、对函数、幂函数的增长的差异,要求学生学习完以后能够完成简单的题目.
六、【教学反思】
这节课的教学效果我只是觉得一般,学生该掌握的掌握不牢固.这节课时间短,任务重,怎样上好这样的课,还是一个重要的课题.


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