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2、3、2线性回归方程2教案(人教版高必修3)
作者:未知 文章来源:网上收集 点击数: 更新时间:2013-8-16 22:16:38

简介
2、3、2线性回归方程
讲义编写者:数学教师孟凡洲
某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表:
气温/℃
26
18
13
10
4
-1

杯数
20
24
34
38
50
64

 如果某天的气温是-5 ℃,你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗?为解决这个问题我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程.
一、【学习目标】
1、理解相关关系,能判断两个变量之间是否是相关关系;
2、会求线性回归方程,理解其真正含义(估计).
【教学效果】:教学目标的给出有利于学生整体把握课堂.
二、【自学内容和要求及自学过程】
阅读教材86—89页内容,回答问题(回归直线方程)
<1>请你说出作散点图的步骤和方法.
<2>请你说出正、负相关的概念.
<3>什么是线性相关?
<4>看人体的脂肪百分比和年龄的散点图,当人的年龄增加时,体内脂肪含量到底是以什么方式增加的呢?
<5>什么叫做回归直线?
<6>如何求回归直线的方程?什么是最小二乘法?它有什么样的思想?
结论:<1>建立相应的平面直角坐标系,将各数据在平面直角坐标中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图.(a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系.b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系)
<2>如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.
<3>如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关的关系.
<4>大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加,呈正相关的趋势,我们可以从散点图上来进一步分析.
<5>如下图;从散点图上可以看出,这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线(regression line).如果能够求出这条回归直线的方程(简称回归方程),那么我们就可以比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性.就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样,这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表.
<6>从散点图上可以发现,人体的脂肪百分比和年龄的散点图,大致分布在通过散点图中心的一条直线.
那么,我们应当如何具体求出这个回归方程呢?
有的同学可能会想,我可以采用测量的方法,先画出一条直线,测量出各点与它的距离,然后移动直线,到达一个使距离的和最小的位置,测量出此时的斜率和截距,就可得到回归方程了.但是,这样做可靠吗?
有的同学可能还会想,在图中选择这样的两点画直线,使得直线两侧的点的个数基本相同.同样地,这样做能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗?
还有的同学会想,在散点图中多取几组点,确定出几条直线的方程,再分别求出各条直线的斜率、截距的平均数,将这两个平均数当成回归方程的斜率和截距.
同学们不妨去实践一下,看看这些方法是不是真的可行?
(学生讨论:1.选择能反映直线变化的两个点.2.在图中放上一根细绳,使得上面和下面点的个数相同或基本相同.3.多取几组点对,确定几条直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值,作为所求直线的斜率、截距.)教师:分别分析各方法的可靠性.如下图:

上面这些方法虽然有一定的道理,但总让人感到可靠性不强.
实际上,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点与此直线的距离最小”.人们经过长期的实践与研究,已经得出了计算回归方程的斜率与截距的一般公式

其中,b是回归方程的斜率,a是截距.
推导公式①的计算比较复杂,这里不作推导.但是,我们可以解释一下得出它的原理.
假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),且所求回归方程是 =bx a,其中a、b是待定参数.当变量x取xi(i=1,2,…,n)时可以得到 =bxi a(i=1,2,…,n),它与实际收集到的yi之间的偏差是yi- =yi-(bxi a)(i=1,2,…,n).
这样,用这n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的.由于(yi- )可正可负,为了避免相互抵消,可以考虑用 来代替,但由于它含有绝对值,运算不太方便,所以改用Q=(y1-bx1-a)2 (y2-bx2-a)2 … (yn-bxn-a)2 ②来刻画n个点与回归直线在整体上的偏差.
这样,问题就归结为:当a,b取什么值时Q最小,即总体偏差最小.经过数学上求最小值的运算,a,b的值由公式①给出.
通过求② 式的最小值而得出回归直线的方法,即求回归直线,使得样本数据的点到它的距离的平方和最小,这一方法叫做最小二乘法(method of least square).
【教学效果】:理解线性回归的真正内涵.
三、【综合练习与思考探索】
例1 有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计,得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表:
温度/℃
-5
0
4
7
12
15
19
23
27
31
36

热饮杯数
156
150
132
128
130
116
104
89
93
76
54

(1)画出散点图;
(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律;
(3)求回归方程;
(4)如果某天的气温是2 ℃,预测这天卖出的热饮杯数.
结论:(1)散点图如下图所示:

(2)从上图看到,各点散布在从左上角到右下角的区域里,因此,气温与热饮销售杯数之间呈负相关,即气温越高,卖出去的热饮杯数越少.
(3)从散点图可以看出,这些点大致分布在一条直线的附近,因此,可用公式①求出回归方程的系数.利用计算器容易求得回归方程 =-2.352x 147.767.
(4)当x=2时, =143.063.因此,某天的气温为2 ℃时,这天大约可以卖出143杯热饮.
思考:气温为2 ℃时,小卖部一定能够卖出143杯左右热饮吗?为什么?
这里的答案是小卖部不一定能够卖出143杯左右热饮,原因如下:
1.线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的,存在随机误差,这种误差可以导致预测结果的偏差.
2.即使截距和斜率的估计没有误差,也不可能百分之百地保证对应于x的预报值,能够与实际值y很接近.我们不能保证点(x,y)落在回归直线上,甚至不能百分之百地保证它落在回归直线的附近,事实上,y=bx a e= e.
这里e是随机变量,预报值 与实际值y的接近程度由随机变量e的标准差所决定.
一些学生可能会提出问题:既然不一定能够卖出143杯左右热饮,那么为什么我们还以“这天大约可以卖出143杯热饮”作为结论呢?这是因为这个结论出现的可能性最大.具体地说,假如我们规定可以选择连续的3个非负整数作为可能的预测结果,则我们选择142,143和144能够保证预测成功(即实际卖出的杯数是这3个数之一)的概率最大.
例2 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料.
机动车辆数x/千台
95
110
112
120
129
135
150
180

交通事故数y/千件
6.2
7.5
7.7
8.5
8.7
9.8
10.2
13

(1)请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系,如果不具有线性相关关系,说明理由;
(2)如果具有线性相关关系,求出线性回归方程.
结论:(1)在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.

直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系.
(2)计算相应的数据之和:
=1 031, =71.6, =137 835, =9 611.7.
将它们代入公式计算得b≈0.077 4,a=-1.024 1,
所以,所求线性回归方程为=0.077 4x-1.024 1.
【教学效果】:通过练习巩固新知.
四、【作业】
1、必做题:习题2.3A组3、4,B组1、2;
2、选做题:完成课后练习.
五、【小结】
本节课主要学习了两个内容1o求线性回归方程的步骤:(1)计算平均数 ; (2)计算xi与yi的积,求∑xiyi; (3)计算∑xi2,∑yi2,
(4)将上述有关结果代入公式
求b,a,写出回归直线方程.
2o经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
六、【教学反思】
因材施教说起来很容易,事实上很难.教师要认识自己的学生,真正的认识自己的学生,才能使你的学生进步.
七、【课后练习】
1、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系( )
A.角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积
C.正n边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高
答案:D
2、三点(3,10),(7,20),(11,24)的线性回归方程是( )
A. =5.75-1.75x B. =1.75 5.75x C. =1.75-5.75x D. =5.75 1.75x
答案:D
3、已知关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用y(万元),有如下统计资料:
使用年限x
2
3
4
5
6

维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0

 设y对x呈线性相关关系.试求:
(1)线性回归方程 =bx a的回归系数a,b;
(2)估计使用年限为10年时,维修费用是多少?
答案:(1)b=1.23,a=0.08;(2)12.38.
4、我们考虑两个表示变量x与y之间的关系的模型,δ为误差项,模型如下:
模型1:y=6 4x;模型2:y=6 4x e.
(1)如果x=3,e=1,分别求两个模型中y的值;
(2)分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型.
解:(1)模型1:y=6 4x=6 4×3=18;
模型2:y=6 4x e=6 4×3 1=19.
(2)模型1中相同的x值一定得到相同的y值,所以是确定性模型;模型2中相同的x值,因δ的不同,所得y值不一定相同,且δ为误差项是随机的,所以模型2是随机性模型.
5、以下是收集到的新房屋销售价格y与房屋大小x的数据:
房屋大小x(m2)
80
105
110
115
135

销售价格y(万元)
18.4
22
21.6
24.8
29.2

(1)画出数据的散点图;
(2)用最小二乘法估计求线性回归方程.
解:(1)散点图如下图.

(2)n=5, =545, =109, =116, =23.2,
=60 952, =12 952,
b= ≈0.199,a=23.2-0.199×109≈1.509,
所以,线性回归方程为y=0.199x 1.509.
6、下列关系中,是带有随机性相关关系的是
正方形的边长面积之间的关系;
② 水稻产量与施肥量之间的关系
③ 人的身高与年龄之间的关系
④ 降雪量与交通事故的发生率之间的关系.
答案:两变量之间的关系有两种:函数关系与带有机性的相关关系.①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系.②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系,但是具有相关性,因而是相关关系.③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而他们不具备相关关系.④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系,因此填②、④.
7、现随机抽取某校10名学生在入学考中的数学成绩X与入学后的第一次数学考试成绩Y,数据如下:
学号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

X
120
109
117
104
103
110
104
105
99
108

Y
84
64
84
68
69
68
69
46
57
71

问这10名同学的两次数学考试成绩是否具有相关关系?
答案:应用散点图分析,(图略)这10名同学的两次数学考试成绩具有相关关系.
8、在下列各图中,每个图的两个变量具有相关关系的图是( )




A、(1)(2) B、(1)(3) C、(2)(4) D、(2)(3)
9、线性回归方程 必过[ ]
A、(0,0)点 B、( ,0)点 C、(0, )点心 D、( )点
10、设有一个直线回归方程为y=2-1.5x, 则变量x增加一个单位时
A、y平均增加1.5个单位于 B、y平均增加2个单位
C、y平均减少1.5个单位 D、y平均减少2个单位
10、下列变量之间的关系是相关关系的是       .
① 球的体积与半径的关系;
② 动物大脑容量的百分比与智力水平的关系;
③ 人的年龄与体重之间的关系;
④ 降雨量与农作物产量之间的关系.
11、要分析学生初中升学的数学成绩对高一学习情况的影响,在高一年级学生中随机抽取了10名学生,他们的入学成绩与期末考试成绩如下表:
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

入学成绩X
63
67
45
88
81
71
52
99
58
76

期末成绩Y
65
78
52
82
92
89
73
98
56
75

(1)若变量X与Y之间具有线性相关关系,求出回归直线方程.
(2)若某学生的入学成绩为80分,试估计他的期末成绩;


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