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1、1、1算法的概念教案(人教版高必修3)
作者:未知 文章来源:网上收集 点击数: 更新时间:2013-8-16 21:40:34

简介
1、1、1算法的概念
讲义编写者:数学教师孟凡洲
一、【学习目标】
1、正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点;
2、会写出解二元一次方程组、判断一个数为质数和二分法求近似解的算法;
3、把自然语言转化为算法语言.
二、【自学内容和要求及自学过程】
1、阅读教材第2页内容,回答问题(解二元一次方程组的步骤)
<1>我们知道解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法,请你结合教材的例子 总结用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组的步骤.
<2>请同学们总结解一般二元一次方程组 的步骤.
结论:<1>①加减消元法解二元一次方程组:回顾二元一次方程组 的求解过程,我们可以归纳出以下步骤:第一步,<1> <2>×2,得5x=1<3>.第二步,解<3>,得:x=1/5,第三步,<2>-<1>×2得5y=3<4>.第四步,解<4>,得y=3/5.第五步:得到方程组的解为 <2>代入消元法解二元一次方程组 我们可以归纳出以下步骤:第一步,由<1>得x=2y-1<3>.第二步,把<3>代入<2>,得2(2y-1) y=1<4>.第三步,解<4>得y=3/5<5>.第四步,把<5>代入<3>,得x=2×3/5-1=1/5.第五步,得到方程组的解为: <2>对于一般的一元二次方程组 ,其中 ,可以写出类似的求解步骤:第一步,<1>× -2× ,得 <3>.第二步,解<3>,得 .第三步,<2>× -<1>× ,得 <4>.第四步,解<4>,得 .第五步,得到方程组的解为
上述步骤构成了解二元一次方程组的一个算法,我们可以根据这一算法编制计算机程序,让计算机来解二元一次方程组.
2、根据第一块内容,结合算法的定义,回答问题(算法)
<3>根据上述实例,说说你对算法的理解.
<4>请同学们总结算法的特征.
结论:<3>广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤,那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法,菜谱是做菜的算法等等.在数学中,算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限点的步骤.现在算法通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决问题.<4>①确定性:算法的每一部都应当做到准确无误、不重复、不遗漏.不重复是指不是可有可无的,甚至无用的步骤,不遗漏是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性:算法从开始的第一步直到最后一步之间做到环环相扣,分工明确,前一步是后一步的前提,后一步是前一步的继续.③有穷性:算法要有明确的开始和结束,当到达终止步骤时所要解决的问题有明确的结果,也就是说必须在有限步骤内完成任务,不能无限制的持续进行.
思考:我们为什么要学习算法?
结论:在解决某些问题时,需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题,这些步骤称为解决这些问题的算法.也就是说算法实际上就是解决问题的一种程序性方法.算法一般是机械的,它的优点是一种通法,只要按部就班的去做,总能得到结果.因此算法是计算科学的基础.
三、【综合练习与思考探索】
练习一:教材例1:<1>设计一个算法,判断7是否为质数.<2>设计一个算法,判断35是否为质数.
结论:<1>根据质数的定义,可以这样判断:依次用2—6除7,如果它们中有一个能整除7,则7不是质数,否则7是质数.
根据以上分析,可写出如下的算法:
第一步:用2除7,得到余数1,因为余数不为0,所以2不能整除7.
第二步:用3除7,得到余数1,因为余数不为0,所以3不能整除7.
第三步:用4除7,得到余数3,因为余数不为0,所以4不能整除7.
第四步:用5除7,得到余数2,因为余数不为0,所以5不能整除7.
第五步:用6除7,得到余数1,因为余数不为0,所以6不能整除7.因此,7是质数.
<2>类似地,可写出“判断35是否为质数”的算法:
第一步:用2除35,得到余数1,因为余数不为0,所以2不能整除35.
第二步:用3除35,得到余数2,因为余数不为0,所以3不能整除35.
第三步:用4除35,得到余数3,因为余数不为0,所以4不能整除35.
第四步:用5除35,得到余数0,因为余数为0,所以5能整除35.因此,35不是质数.
引申:教材P4探究:请写出判断整数n(n>2)是否为质数的算法.
对于任意的整数n(n>2),若用i表示2—(n-1)中的任意整数,则判断整数n(n>2)是否为质数的算法包含下面的重复操作.
用i除n,得到余数r,判断余数r是否为0,若是,则n不是质数;否则,将i的值增加1.再执行同样的操作.
这个操作一直要进行到i的值等于(n-1)为止.因此,判断整数n(n>2)是否为质数的算法可以写成:
第一步,给定大于2的整数n.
第二步,令i=2.
第三步,用i除n,得到余数r.
第四步,判断“r=0”是否成立.若是,则n不是质数,结束算法;否则,将i的值增加1,仍用i表示.
第五步,判断“i>(n-1)”是否成立.若是,则n是质数,结束算法;否则,返回第三步.
练习二:教材例2:写出用“二分法”求方程x2-2=0(x>0)的近似解的算法.
结论:算法分析:令f(x)= x2-2=0(x>0),则方程x2-2=0的解就是函数f(x)的零点.
二分法的基本思想是:把函数f(x)的零点所在的区间[a,b](满足f(a)f(b)<0)一分为二,得到[a,m]和[m,b].根据f(a)f(m)<0是否成立,取出零点所在的区间[a,m]或[m,b],仍记为[a,b].对所得的区间[a,b],重复上述步骤,直到包含零点的区间[a,b]足够小,则[a,b]内的数可以作为方程的近似解.
根据以上分析,可以写出如下的算法:
第一步,令f(x)= x2-2=0,给出精确度d.
第二步,确定区间[a,b],满足f(a)f(b)<0.
第三步,取区间中点m=(a b)/2.
第四步,若f(a)f(m)<0,则含零点的区间为[a,m];否则 ,含零点的区间为[m,b].将新得到的含零点的区间仍记为[a,b].
第五步,判断[a,b]的长度是否小于d或f(m)是否等于0.若是,则m是方程的近似解;否则,返回第三步.
当d=0.005时,按照以上算法,可以得到表1—1和图1.1—1
于是,开区间 (1.4140625,1.41796875)中的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近似解.
练习三: 写出一个求有限整数列中的最大值的算法.
结论:算法如下.
S1 先假定序列中的第一个整数为“最大值”.
S2 将序列中的下一个整数值与“最大值”比较,如果它大于此“最大值”,这时你就假定“最大值”是这个整数.
S3 如果序列中还有其他整数,重复S2.
S4 在序列中一直到没有可比的数为止,这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值.
引申:写出对任意3个整数a,b,c求出最大值的算法.
S1 max=a
S2 如果b>max, 则max=b.
S3 如果C>max, 则max=c.
S4 max就是a,b,c中的最大值
练习四:写出求1 2 3 4 5 6的一个算法.
可以按逐一相加的程序进行,也可以利用公式1 2 … n= 进行,也可以根据加法运算律简化运算过程.
算法1:
S1:计算1 2得到3;
S2:将第一步中的运算结果3与3相加得到6;
S3:将第二步中的运算结果6与4相加得到10;
S4:将第三步中的运算结果10与5相加得到15;
S5:将第四步中的运算结果15与6相加得到21.
算法2:
S1:取n=6;
S2:计算 ;
S3:输出运算结果.
算法3:
S1:将原式变形为(1 6) (2 5) (3 4)=3×7;
S2:计算3×7;
S3:输出运算结果.
小结:算法1是最原始的方法,最为繁琐,步骤较多,当加数较大时,比如1 2 3 … 10000,再用这种方法是行不通的;算法2与算法3都是比较简单的算法,但比较而言,算法2最为简单,且易于在计算机上执行操作.
引申:求1×3×5×7×9×11的值,写出其算法.
算法1;
第一步,先求1×3,得到结果3;
第二步,将第一步所得结果3再乘以5,得到结果15;
第三步,再将15乘以7,得到结果105;
第四步,再将105乘以9,得到945;
第五步,再将945乘以11,得到10395,即是最后结果.
算法2:
用P表示被乘数,i表示乘数.
S1 使P=1.
S2 使i=3
S3 使P=P×i
S4 使i=i 2
S5 若i≤11,则返回到S3继续执行;否则算法结束.
小结 由于计算机动是高速计算的自动机器,实现循环的语句.因此,上述算法2不仅是正确的,而且是在计算机上能够实现的较好的算法.在上面的算法中,S3,S4,S5构成一个完整的循环,这里需要说明的是,每经过一次循环之后,变量P、i的值都发生了变化,并且生循环一次之后都要在步骤S5对i的值进行检验,一旦发现i的值大于11时,立即停止循环,同时输出最后一个P的值,对于循环结构的详细情况,我们将在以后的学习中介绍.
四、【作业】
1、必做题:教材第5页练习1、2;
2、选做题:写出通过尺规作图确定线段AB一个五等分点的算法.
五、【课后练习】
1、同学要在下午到体育馆参加比赛,比赛下午2时开始,请写出该同学从家里发到比赛地的算法.
2、写出解一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的一个算法.
3、写出求1至1000的正数中的3倍数的一个算法(打印结果)
4、写出解不等式x2-2x-3<0的一个算法.
解:第一步:x2-2x-3=0的两根是x1=3,x2=-1.
第二步:由x2-2x-3<0可知不等式的解集为{x | -1评注:该题的解法具有一般性,下面给出形如ax2 bx c>0的不等式的解的步骤(为方便,我们设a>0)如下:
第一步:计算△= ;
第二步:若△>0,示出方程两根 (设x1>x2),则不等式解集为{x | x>x1或x第三步:若△= 0,则不等式解集为{x | x∈R且x };
第四步:若△<0,则不等式的解集为R.
5、求过P(a1,b1)、Q(a2,b2)两点的直线斜率有如下的算法:
第一步:取x1= a1,y1= b1,x2= a2,y1= b2;
第二步:若x1= x2;
第三步:输出斜率不存在;
第四步:若x1≠x2;
第五步:计算 ;
第六步:输出结果.
6、写出求过两点M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法.
第一步:取x1=-2,y1=-1,x2=2,y2=3;
第二步:计算 ;
第三步:在第二步结果中令x=0得到y的值m,得直线与y轴交点(0,m);
第四步:在第二步结果中令y=0得到x的值n,得直线与x轴交点(n,0);
第五步:计算S= ;
第六步:输出运算结果


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