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已知数列{an}是首项为a1=14,公比q=14的等比数列.设bn+2=3log14an(n∈N*),数列{cn}满足cn=1bn•bn+1.(Ⅰ)求证:数列{bn}成等差数列;(Ⅱ)求数列{cn}的前n项和Sn.-数学         
已知数列{an}是首项为a1=14,公比q=14的等比数列.设bn+2=3log14an(n∈N*),数列{cn}满足cn=1bn•bn+1.(Ⅰ)求证:数列{bn}成等差数列;(Ⅱ)求数列{cn}的前n项和Sn.-数学
作者:1 文章来源:网络 点击数: 更新时间:2015-5-3

已知数列{an}是首项为a1=
1
4
,公比q=
1
4
的等比数列.设bn+2=3log
1
4
an(n∈N*),数列{cn}满足cn=
1
bn•bn+1

(Ⅰ)求证:数列{bn}成等差数列;
(Ⅱ)求数列{cn}的前n项和Sn
参考答案:
证明:(Ⅰ)∵数列{an}是首项为a1=
1
4
,公比q=
1
4
的等比数列,
∴an=
1
4
•(
1
4
)n-1=(
1
4
)n,
∵bn+2=3log
1
4
an=3log
1
4
(
1
4
)n=3n(n∈N*),
∴bn=3n-2;
∴bn+1-bn=3(n+1)-2-(3n-2)=3,
∴数列{bn}是以1为首项,3为公差的成等差数列.
(Ⅱ)∵cn=
1
bn•bn+1
=
1
(3n-2)[3(n+1)-2]
=
1
3
1
3n-2
-
1
3n+1
),
∵数列{cn}的前n项和为Sn
∴Sn=c1+c2+…+cn
=
1
3
[(1-
1
4
)+(
1
4
-
1
7
)+…+(
1
3n-2
-
1
3n+1
)]
=
1
3
(1-
1
3n+1

=
n
3n+1


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