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2013年荆州市沙市区中考数学一模试卷及答案(word解析版)
作者:未知 文章来源:网上收集 点击数: 更新时间:2013-8-25 3:05:36

简介
湖北省荆州市沙市区2013年中考数学一模试卷
一.选择题
1.(3分)(2013?沙市区一模)下面计算正确的是(  )
 
A.

B.

C.

D.



考点:
二次根式的混合运算. .

专题:
计算题.

分析:
根据二次根式的混合运算方法,分别进行运算即可.

解答:
解:A.3 不是同类项无法进行运算,故此选项错误;
B. = = =3,故此选项正确;
C. × = = ,故此选项错误;
D.∵ = =2,故此选项错误;
故选:B.

点评:
此题主要考查了二次根式的混合运算,熟练化简二次根式后,在加减的过程中,有同类二次根式的要合并;相乘的时候,被开方数简单的直接让被开方数相乘,再化简;较大的也可先化简,再相乘,灵活对待.

 
2.(3分)(2013?沙市区一模)下列图形中,中心对称图形是(  )
 
A.

B.

C.

D.



考点:
中心对称图形. .

分析:
根据中心对称的定义,结合选项即可得出答案.

解答:
解:A、不是中心对称图形,故本选项错误;
B、不是中心对称图形,故本选项错误;
C、不是中心对称图形,故本选项错误;
D、是中心对称图形,故本选项正确;
故选D.

点评:
本题考查了中心对称图形的判断,把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.

 
3.(3分)(2013?沙市区一模)方程x(x﹣1)=0的解是(  )
 
A.
x=0
B.
x=1
C.
x=0或x=1
D.
x=0或x=﹣1


考点:
解一元二次方程-因式分解法;解一元一次方程. .

专题:
计算题.

分析:
一元二次方程转化成两个一元一次方程x=0或 x﹣1=0,求出方程的解即可.

解答:
解:x(x﹣1)=0,
x=0或 x﹣1=0,
x1=0 或x2=1,
故选C.

点评:
本题主要考查对解一元二次方程﹣因式分解法,解一元一次方程等知识点的理解和掌握,能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键.

 
4.(3分)(2013?沙市区一模)关于x的方程x2 mx﹣2m2=0的一个根为1,则m的值为(  )
 
A.
1
B.

C.
1或
D.
1或﹣


考点:
一元二次方程的解. .

专题:
压轴题.

分析:
根据关于x的方程x2 mx﹣2m2=0的一个根为1,可将x=1代入方程,即可得到关于m的方程,解方程即可求出m值.

解答:
解:把x=1代入方程可得1 m﹣2m2=0,
∴2m2﹣m﹣1=0,
m= = ,
解得:m=1或﹣.
故选:D.

点评:
此题主要考查了方程的解的意义和一元二次方程的解法.熟练运用公式法求得一元二次方程的解是解决问题的关键.

 
5.(3分)(2013?沙市区一模)抛物线y=x2﹣6x 5的顶点坐标和对称轴分别为(  )
 
A.
(3,﹣4),x=3
B.
(3,4),x=3
C.
(﹣3,﹣4),x=﹣3
D.
(﹣3,4),x=﹣3


考点:
二次函数的性质. .

专题:
探究型.

分析:
先把抛物线y=x2﹣6x 5化为顶点式的形式,再求出其顶点坐标及对称轴方程即可.

解答:
解:∵抛物线y=x2﹣6x 5可化为y=(x﹣3)2﹣4的形式,
∴其顶点坐标为:(3,﹣4),对称轴方程为;x=3.
故选A.

点评:
本题考查的是二次函数的性质,根据题意把二次函数化为顶点式的形式是解答此题的关键.

 
6.(3分)(2013?沙市区一模)△ABC为⊙O的内接三角形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是(  )
 
A.
80°
B.
160°
C.
100°
D.
80°或100°


考点:
圆周角定理. .

专题:
压轴题.

分析:
首先根据题意画出图形,由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数,又由圆的内接四边形的性质,即可求得∠AB′C的度数.

解答:
解:如图,∵∠AOC=160°,
∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°,
∵∠ABC ∠AB′C=180°,
∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°.
∴∠ABC的度数是:80°或100°.
故选D.


点评:
此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质.此题难度不大,注意数形结合思想与分类讨论思想的应用,注意别漏解.

 
7.(3分)(2013?沙市区一模)如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,已知CD=12,BE=2,则⊙O的直径为(  )

 
A.
8
B.
10
C.
16
D.
20


考点:
垂径定理;勾股定理. .

分析:
连接OC,可知,点E为CD的中点,在Rt△OEC中,OE=OB﹣BE=OC﹣BE,根据勾股定理,即可得出OC,即可得出直径.

解答:
解:连接OC,根据题意,
CE=CD=6,BE=2.
在Rt△OEC中,
设OC=x,则OE=x﹣2,
故:(x﹣2)2 62=x2
解得:x=10
即直径AB=20.
故选D.


点评:
本题是对垂径定理和解直角三角形的综合应用,解题的关键是利用勾股定理构造直角三角形.

 
8.(3分)(2013?沙市区一模)如图,在?ABCD中,E、F分别是AD、CD边上的点,连接BE、AF,他们相交于G,延长BE交CD的延长线于点H,则图中的相似三角形共有(  )

 
A.
2对
B.
3对
C.
4对
D.
5对


考点:
相似三角形的判定;平行四边形的性质. .

专题:
证明题;压轴题.

分析:
根据四边形ABCD是平行四边形,利用相似三角形的判定定理,对各个三角形逐一分析即可.

解答:
解:∵在?ABCD中,E、F分别是AD、CD边上的点,连接BE、AF,他们相交于G,延长BE交CD的延长线于点H,
∴△AGB∽△FGH,
△HED∽△HBC,
△HED∽△EBA,
△AEB∽△HBC,共4对.
故选C.

点评:
此题主要考查相似三角形的判定和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握,解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理.

 
9.(3分)(2012?日照)在菱形ABCD中,E是BC边上的点,连接AE交BD于点F,若EC=2BE,则 的值是(  )
 
A.

B.

C.

D.



考点:
相似三角形的判定与性质;菱形的性质. .

分析:
根据菱形的对边平行且相等的性质,判断△BEF∽△DAF,得出 = ,再根据BE与BC的数量关系求比值.

解答:
解:如图,
∵在菱形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC,
∴△BEF∽△DAF,
∴ = ,
又∵EC=2BE,
∴BC=3BE,即AD=3BE,
∴ = =,
故选B.


点评:
本题考查了相似三角形的判定与性质,菱形的性质.关键是由平行线得出相似三角形,由菱形的性质得出线段的长度关系.

 
10.(3分)(2012?安徽)如图,A点在半径为2的⊙O上,过线段OA上的一点P作直线l,与⊙O过A点的切线交于点B,且∠APB=60°,设OP=x,则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是(  )

 
A.

B.

C.

D.



考点:
动点问题的函数图象. .

专题:
压轴题.

分析:
根据已知得出S与x之间的函数关系式,进而得出函数是二次函数,当x=﹣ =2时,S取到最小值为: =0,即可得出图象.

解答:
解:当P与O重合,
∵A点在半径为2的⊙O上,过线段OA上的一点P作直线l,与⊙O过A点的切线交于点B,且∠APB=60°,
∴AO=2,OP=x,则AP=2﹣x,
∴tan60°= = ,
解得:AB= (2﹣x)=﹣ x 2 ,
∴S△ABP=×PA×AB=(2﹣x)? ?(﹣x 2)= x2﹣2 x 2 ,
故此函数为二次函数,
∵a= >0,
∴当x=﹣ =2时,S取到最小值为: =0,
根据图象得出只有D符合要求.
故选:D.


点评:
此题主要考查了动点函数的图象,根据已知得出S与x之间的函数解析式是解题关键.

 
二.填空题
11.(3分)(2013?沙市区一模)已知 , ,则代数式 的值为 3 .
考点:
二次根式的化简求值. .

分析:
先求出(m n)2、mn的值,再把m2 n2﹣3mn化成(m n)2﹣5mn,代入求出其值是9,最后求出9的算术平方根即可.

解答:
解:∵m=1 ,n=1﹣ ,
∴(m n)2= =22=4,
mn=(1 )×(1﹣ )=1﹣2=﹣1,
∴m2 n2﹣3mn
=(m n)2﹣2mn﹣3mn
=(m n)2﹣5mn
=4﹣5×(﹣1)
=9,
∴ = =3.
故答案为:3.

点评:
本题考查了二次根式的化简求值,注意:(m n)2=m2 2mn n2,m2 n2﹣3mn=(m n)2﹣5mn.

 
12.(3分)(2013?沙市区一模)两块大小一样斜边为4且含有30°角的三角板如图水平放置.将△CDE绕C点按逆时针方向旋转,当E点恰好落在AB边上的E′点时, 的长度为   .

考点:
旋转的性质;弧长的计算. .

分析:
根据含有30°角的直角三角形的性质可知CE′是△ACB的中线,可得△E′CB是等边三角形,从而得出∠ACE′的度数和CE′的长,从而得出△CDE旋转的度数;再根据弧长公式计算求解.

解答:
解:∵三角板是两块大小一样斜边为4且含有30°的角,
∴CE′是△ACB的中线,
∴CE′=BC=BE′=2,
∴△E′CB是等边三角形,
∴∠BCE′=60°,
∴∠ACE′=90°﹣60°=30°,
∴弧EF的长度为: = .
故答案是: .

点评:
考查了含有30°角的直角三角形的性质,等边三角形的判定,旋转的性质和扇形面积的计算,本题关键是得到CE′是△ACB的中线.

 
13.(3分)(2012?上海)在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,∠AED=∠B,如果AE=2,△ADE的面积为4,四边形BCED的面积为5,那么AB的长为 3 .

考点:
相似三角形的判定与性质. .

分析:
由∠AED=∠B,∠A是公共角,根据有两角对应相等的三角形相似,即可证得△ADE∽△ACB,又由相似三角形面积的比等于相似比的平方,即可得 ,然后由AE=2,△ADE的面积为4,四边形BCDE的面积为5,即可求得AB的长.

解答:
解:∵∠AED=∠B,∠A是公共角,
∴△ADE∽△ACB,
∴ ,
∵△ADE的面积为4,四边形BCED的面积为5,
∴△ABC的面积为9,
∵AE=2,
∴ ,
解得:AB=3.
故答案为:3.

点评:
此题考查了相似三角形的判定与性质.此题比较简单,注意掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用.

 
14.(3分)(2011?仙桃)张凯家购置了一辆新车,爸爸妈妈商议确定车牌号,前三位选定为8ZK后,对后两位数字意见有分歧,最后决定由毫不知情的张凯从如图排列的四个数字中随机划去两个,剩下的两个数字从左到右组成两位数,续在8ZK之后,则选中的车牌号为8ZK86的概率是  .

考点:
概率公式. .

专题:
压轴题;规律型.

分析:
先得出四个数字中随机划去两个,剩下的两个数字组成两位数的可能,再得出是86的可能,根据概率公式即可求解.

解答:
解:如图排列的四个数字中随机划去两个,剩下的两个数字从左到右组成两位数的可能有6种,
其中是86的可能有2种,
故选中的车牌号为8ZK86的概率是=2÷6=.
故答案为:.

点评:
本题考查了概率公式,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.

 
15.(3分)(2012?宁波)把二次函数y=(x﹣1)2 2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为 y=﹣(x 1)2﹣2 .
考点:
二次函数图象与几何变换. .

专题:
压轴题.

分析:
根据顶点式解析式求出原二次函数的顶点坐标,然后根据关于中心对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数求出旋转后的二次函数的顶点坐标,最后根据旋转变换只改变图形的位置,不改变图形的形状写出解析式即可.

解答:
解:二次函数y=(x﹣1)2 2顶点坐标为(1,2),
绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为(﹣1,﹣2),
所以,旋转后的新函数图象的解析式为y=﹣(x 1)2﹣2.
故答案为:y=﹣(x 1)2﹣2.

点评:
本题考查了二次函数图象与几何变换,利用点的变换解决函数图象的变换,求出变换后的顶点坐标是解题的关键.

 
16.(3分)(2013?沙市区一模)关于x的一元二次方程x2 2x k 1=0的实数解是x1和x2,如果x1 x2﹣x1x2<﹣1,且k为整数,则k的值为 ﹣1或0 .
考点:
根与系数的关系. .

专题:
计算题.

分析:
根据根与系数的关系得到x1 x2=﹣2,x1?x2=k 1,由x1 x2﹣x1x2<﹣1得到﹣2﹣(k 1)<﹣1,解得k>﹣2,再根据根的判别式得到4﹣4(k 1)≥0,解得k≤0,
则k的范围为﹣2<k≤0,然后找出此范围内的整数即可.

解答:
解:根据题意得x1 x2=﹣2,x1?x2=k 1,
∵x1 x2﹣x1x2<﹣1,
∴﹣2﹣(k 1)<﹣1,解得k>﹣2,
∵△=4﹣4(k 1)≥0,解得k≤0,
∴﹣2<k≤0,
∴整数k为﹣1或0.
故答案为﹣1或0.

点评:
本题考查了一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的根与系数的关系:若方程两个为x1,x2,则x1 x2=﹣,x1?x2=.也考查了一元二次方程的根的判别式.

 
17.(3分)(2013?沙市区一模)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2 ,若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周,则所得几何体的表面积为 8 π .

考点:
圆锥的计算;点、线、面、体. .

分析:
首先求得高CD的长,然后根据圆锥的侧面积的计算方法,即可求解.

解答:
解:过点C作CD⊥AB于点D,
Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,
∴AB= AC=4,
∴CD=2,
以CD为半径的圆的弧长是:4π.
故直线旋转一周则所得的几何体得表面积是:2××4π×2 =8 π.
故答案为:8 π.


点评:
此题主要考查了圆锥的有关计算,正确确定旋转后的图形得出以CD为半径的圆的弧长是解题的关键.

 
18.(3分)(2013?沙市区一模)如图,已知点A的坐标为( ,3),AB⊥x轴,垂足为B,连接OA,反比例函数 (k>0)的图象与线段OA,AB分别交与点C,D.若AB=3BD,则四边形BOCD的面积为   .

考点:
反比例函数系数k的几何意义. .

专题:
计算题.

分析:
连接CD,作CE⊥x轴于E,由于点A的坐标为( ,3),AB=3BD,D点坐标为( ,1),得到k= ,再利用待定系数法求出直线OA的解析式为y= x,然后解方程组 得C点坐标为(1, ),再利用四边形BOCD的面积=S△OCD S梯形CEBD进行计算即可.

解答:
解:连接CD,作CE⊥x轴于E,如图
∵点A的坐标为( ,3),AB=3BD,
∴D点坐标为( ,1),
∴k= ×1=
设直线OA的解析式为y=kx,把A( ,3)代入得3= k,解得k= ,
∴直线OA的解析式为y= x,
解方程组 得 或 ,
∴C点坐标为(1, ),
∴四边形BOCD的面积=S△OCE S梯形CEBD= (1 )×( ﹣1)= .
故答案为: .


点评:
本题考查了反比例函数y=(k≠0)的k的几何意义:过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线,则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|.

 
三.解答题
19.(7分)(2013?沙市区一模)先化简再求值 ,其中a= 1.
考点:
分式的化简求值. .

专题:
计算题.

分析:
先对分式进行化简,然后代入a的值得出结果.

解答:
解:原式= ,
= ,
= ,
当a= 1时,原式= .

点评:
本题主要考查了分式的化简求值,难度适中.

 
20.(8分)(2011?娄底)如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=10,将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1.
(1)线段A1C1的长度是 10 ,∠CBA1的度数是 135° .
(2)连接CC1,求证:四边形CBA1C1是平行四边形.

考点:
旋转的性质;等腰直角三角形;平行四边形的判定. .

专题:
几何综合题;压轴题.

分析:
(1)由于将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1,根据旋转的性质可以得到A1C1=AC,∠CBC1=90°,而△ABC是等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质即可求出∠CBA1的度数;
(2)由∠A1C1B=∠C1BC=90°可以得到A1C1∥BC,又A1C1=AC=BC,利用评选四边形的判定即可证明题目的问题.

解答:
(1)解:∵将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1.
∴A1C1=10,∠CBC1=90°,
而△ABC是等腰直角三角形,
∴∠A1BC1=45°,
∴∠CBA1=135°;
(2)证明:∵∠A1C1B=∠C1BC=90°,
∴A1C1∥BC.
又∵A1C1=AC=BC,
∴四边形CBA1C1是平行四边形.

点评:
此题主要考查了旋转的性质,也考查了平行四边形的判定,解题的关键是利用旋转的性质得到相等的相等和相等的角,然后利用等腰直角三角形的性质加减问题.

 
21.(8分)(2011?常州)甲、乙、丙三个布袋都不透明,甲袋中装有1个红球和1个白球;乙袋中装有一个红球和2个白球;丙袋中装有2个白球.这些球除颜色外都相同.从这3个袋中各随机地取出1个球.
①取出的3个球恰好是2个红球和1个白球的概率是多少?
②取出的3个球全是白球的概率是多少?
考点:
列表法与树状图法. .

专题:
计算题;压轴题.

分析:
(1)此题需要三步完成,所以采用树状图法比较简单,然后树状图分析所有等可能的出现结果,根据概率公式即可求出该事件的概率;
(2)求得取出的3个球全是白球的所有情况,然后根据概率公式即可求出该事件的概率.

解答:
解:(1)画树状图得:
∴一共有12种等可能的结果,
取出的3个球恰好是2个红球和1个白球的有2种情况,
∴取出的3个球恰好是2个红球和1个白球的概率是 =;
(2)∵取出的3个球全是白球的有4种情况,
∴取出的3个球全是白球的概率是 =.


点评:
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.

 
22.(9分)(2012?山西)山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:
(1)每千克核桃应降价多少元?
(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?
考点:
一元二次方程的应用. .

专题:
增长率问题.

分析:
(1)设每千克核桃降价x元,利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可;
(2)为了让利于顾客因此应下降6元,求出此时的销售单价即可确定几折.

解答:
(1)解:设每千克核桃应降价x元. …1分
根据题意,得 (60﹣x﹣40)(100 ×20)=2240. …4分
化简,得 x2﹣10x 24=0 解得x1=4,x2=6.…6分
答:每千克核桃应降价4元或6元. …7分
(2)解:由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元.
因为要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价6元.
此时,售价为:60﹣6=54(元), . …9分
答:该店应按原售价的九折出售. …10分

点评:
本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程.

 
23.(10分)(2013?沙市区一模)如图,已知抛物线y=x2﹣(m2﹣2)x﹣2m与x轴交与点A(x1,0),B(x2,0),与y轴交与点C,且满足 .
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)若点M是这条抛物线对称轴上的一个动点,当MB MC的值最小时,求点M的坐标.

考点:
二次函数综合题. .

分析:
(1)根据关于x的一元二次方程x2﹣(m2﹣2)x﹣2m=0的根与系数的关系求得x1 x2=m2﹣2,x1?x2=﹣2m,然后将其代入已知等式 中列出关于m的方程,通过解方程即可求得m的值;
(2)如图所示,连接AC,则AC与对称轴的交点即为所求之M点;已知点A、C的坐标,利用待定系数法求出直线AC的解析式,进而求出点M的坐标.

解答:
解:(1)根据图示知,该抛物线与y轴的交点C在y轴的负半轴上,则﹣2m<0,即m>0.
∵抛物线y=x2﹣(m2﹣2)x﹣2m与x轴交与点A(x1,0),B(x2,0),
∴令y=0,则x2﹣(m2﹣2)x﹣2m=0.
根据韦达定理,得x1 x2=m2﹣2,x1?x2=﹣2m,
∴ = = =,即(m 2)(m﹣1)=0
解得,m=﹣2(不合题意,舍去),或m=1.
∴该抛物线的解析式是:y=x2﹣(12﹣2)x﹣2×1=x2 x﹣2,即y=x2 x﹣2;
(2)由(1)知,抛物线的解析式是y=x2 x﹣2,则该抛物线的对称轴x=﹣.
∵点M是这条抛物线对称轴上的一个动点,
∴MA=MB,
∴MC MB=MA MC=AC,根据两点之间线段最短可知此时MC MB的值最小.
∴连接AC交x=﹣于点M,则M即为所求的点.
设直线AC的解析式为y=kx b(k≠0).∵A(﹣2,0),C(0,﹣2),
∴ ,
解得, ,
则直线AC的解析式为y=﹣x﹣2.
令x=﹣,则y=﹣1×(﹣)﹣2=﹣,
∴M(﹣,﹣).


点评:
本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数(二次函数和一次函数)的解析式、轴对称﹣最短路线问题等知识点,属于代数几何综合题,有一定的难度.

 
24.(12分)(2013?沙市区一模)如图,已知AB为⊙O的直径,PA与⊙O相切与点A,线段OP与弦AC垂直并相交于点D,OP与⊙O相交于点E,连接BC.
(1)求证:△PAD∽△ABC;
(2)若PA=10,AD=6,求AB和PE的长.

考点:
切线的性质;相似三角形的判定与性质. .

分析:
(1)由PA为圆O的切线,利用切线的性质得到AP垂直于AB,可得出∠PAO为直角,得到∠PAD与∠DAO互余,再由AB为圆O的直径,根据直径所对的圆周角为直角,可得出∠ACB为直角,得到∠DAO与∠B互余,根据同角的余角相等可得出∠PAC=∠B,再由一对直角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形APD与三角形ABC相似;
(2)在直角三角形APD中,利用勾股定理求出PD的长,进而确定出AC的长,由第一问两三角形相似得到的比例式,将各自的值代入求出AB的上,求出半径AO的长,在直角三角形APO中,由AP及AO的长,利用勾股定理求出OP的长,用OP﹣OE即可求出PE的长.

解答:
(1)证明:∵PA是⊙O的切线,AB是直径,
∴∠PAO=90°,∠C=90°,
∴∠PAC ∠BAC=90°,∠B ∠BAC=90°,
∴∠PAC=∠B,
又∵OP⊥AC,
∴∠ADP=∠C=90°,
∴△PAD∽△ABC;
(2)解:∵∠PAO=90°,PA=10,AD=6,
∴PD= =8,
∵OD⊥AC,
∴AD=DC=6,
∴AC=12,
∵△PAD∽△ABC,
∴ ,
∴ ,
∴AB=15,
∴OE=AB= ,
∵OP= = ,
∴PE=OP﹣OE= ﹣ =5.


点评:
此题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质,圆周角定理,勾股定理,垂径定理,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.

 
25.(12分)(2012?湛江)如图,在平面直角坐标系中,直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上.O为原点,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8).动点M从点O出发.沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动,同时动点N从点A出发,沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动.当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设动点M、N运动的时间为t秒(t>0).
(1)当t=3秒时.直接写出点N的坐标,并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式;
(2)在此运动的过程中,△MNA的面积是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由;
(3)当t为何值时,△MNA是一个等腰三角形?

考点:
二次函数综合题. .

专题:
压轴题;动点型;分类讨论.

分析:
(1)根据A、B的坐标,可得到OA=6、OB=8、AB=10;当t=3时,AN=6,即N是AB的中点,由此得到点N的坐标.然后利用待定系数法求出抛物线的解析式.
(2)△MNA中,过N作MA边上的高NC,先由∠BAO的正弦值求出NC的表达式,而AM=OA﹣OM,由三角形的面积公式可得到关于S△MNA、t的函数关系式,利用所得函数的性质即可求出△MNA的最大面积.
(3)首先求出N点的坐标,然后表示出AM、MN、AN三边的长;由于△MNA的腰和底不确定,若该三角形是等腰三角形,可分三种情况讨论:①MN=NA、②MN=MA、③NA=MA;直接根据等量关系列方程求解即可.

解答:
解:(1)由题意,A(6,0)、B(0,8),则OA=6,OB=8,AB=10;
当t=3时,AN=t=5=AB,即N是线段AB的中点;
∴N(3,4).
设抛物线的解析式为:y=ax(x﹣6),则:
4=3a(3﹣6),a=﹣;
∴抛物线的解析式:y=﹣x(x﹣6)=﹣x2 x.
(2)过点N作NC⊥OA于C;
由题意,AN=t,AM=OA﹣OM=6﹣t,NC=NA?sin∠BAO=t?=t;
则:S△MNA=AM?NC=×(6﹣t)×t=﹣(t﹣3)2 6.
∴△MNA的面积有最大值,且最大值为6.
(3)∵Rt△NCA中,AN=t,NC=AN?sin∠BAO=t,AC=AN?cos∠BAO=t;
∴OC=OA﹣AC=6﹣t,∴N(6﹣t, t).
∴NM= = ;
又:AM=6﹣t,AN=t(0<t≤6);
①当MN=AN时, =t,即:t2﹣8t 12=0,t1=2,t2=6(舍去);
②当MN=MA时, =6﹣t,即: t2﹣12t=0,t1=0(舍去),t2= ;
③当AM=AN时,6﹣t=t,即t=;
综上,当t的值取 2或或 时,△MAN是等腰三角形.


点评:
该动点函数综合题涉及了二次函数的性质、图形面积的求法、等腰三角形的判定等知识.应注意的是,当等腰三角形的腰和底不明确时,要分情况进行讨论,以免漏解.

 


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